Aturan Pengisian Tempat

Menghitung Pilihan per Tempat

Aturan pengisian tempat menghitung banyak susunan dengan mengalikan jumlah pilihan yang sah untuk setiap tempat secara berurutan. Aturan ini berlaku ketika setiap hasil lengkap dapat dibentuk melalui urutan pilihan yang tetap.

Formulir dengan beberapa kolom mengikuti pola yang sama. Setiap kolom menjadi satu tempat dan setiap isian yang diizinkan menjadi satu pilihan. Hasil kali jumlah pilihan memberi banyak kombinasi isian yang sah.

Mendaftar Pilihan dalam Tabel

Metode tabel mencantumkan setiap kombinasi. Baris mewakili pilihan dari satu kategori dan kolom mewakili pilihan dari kategori lain.

Seorang siswa ingin memilih paket pembelajaran daring. Tersedia tiga platform (Platform A, Platform B, Platform C) dan empat mata pelajaran (Matematika, Fisika, Kimia, Biologi).

Tabel berikut memuat semua kombinasi yang mungkin:

Metode Diagram Cabang

Pada diagram cabang, setiap cabang mewakili satu pilihan. Satu lintasan lengkap dari titik awal sampai ujung cabang mewakili satu hasil.

Untuk pilihan paket yang sama, cabang pertama menentukan platform dan cabang berikutnya menentukan mata pelajaran.

1. Tingkat 1:

   Dari $1$ titik awal, buat cabang untuk $3$ pilihan platform.

2. Tingkat 2:

   $$\begin{aligned} &3 \text{ platform} \times 4 \text{ mata pelajaran} \\ &= 12 \text{ ujung cabang} \end{aligned}$$

3. Struktur cabang:

   Dari titik awal, pilih platform, lalu pilih mata pelajaran.

4. Jumlah lintasan lengkap:

   $$3 \times 4 = 12 \text{ kombinasi}$$

Metode Aturan Perkalian

Aturan perkalian menghasilkan hitungan yang sama tanpa mendaftar setiap hasil. Jika ada $n$ tempat dan tempat ke-$i$ memiliki $k_i$ pilihan yang sah, maka banyak hasil lengkap adalah:

Menghitung Kode Akses

Sebuah sekolah ingin membuat kode akses untuk sistem pembelajaran digital. Kode tersebut terdiri dari:

• Tempat pertama: $3 \text{ huruf}$ ($A, B, C$)
• Tempat kedua: $5 \text{ angka}$ ($1, 2, 3, 4, 5$)
• Tempat ketiga: $2 \text{ simbol}$ ($@, \#$)

Kalikan jumlah pilihan pada ketiga tempat:

Kasus Dengan Pembatasan

Pembatasan dapat mengubah jumlah pilihan dari satu tempat ke tempat berikutnya. Tentukan untuk setiap tempat apakah pilihan sebelumnya menghilangkan satu opsi, karena itulah yang menentukan apakah faktornya tetap sama. Contoh di bawah mengerjakan kedua kasus itu.

Pengulangan Tidak Diperbolehkan

Jika objek yang sama tidak boleh digunakan berulang, maka setiap tempat yang terisi akan mengurangi pilihan untuk tempat berikutnya.

Contoh: Membuat bilangan $3 \text{ digit}$ dari digit $2, 3, 4, 5, 6$ tanpa pengulangan.

Tempat pertama memiliki $5$ pilihan. Setelah $1$ digit terpakai, tersisa $4$ pilihan untuk tempat kedua. Setelah $2$ digit terpakai, tempat ketiga memiliki $3$ pilihan.

Pengulangan Diperbolehkan

Jika objek yang sama boleh digunakan berulang, maka pilihan di setiap tempat tetap sama.

Untuk kasus yang sama dengan pengulangan diperbolehkan:

Latihan

Setiap soal mengisi beberapa tempat secara berurutan. Hitung pilihan untuk satu tempat, kalikan hasilnya, lalu perhatikan soal yang melarang pengulangan.

1. Sebuah toko elektronik menjual ponsel dari $4$ merek. Setiap merek tersedia dalam $3$ kapasitas memori dan $5$ warna. Berapa banyak pilihan ponsel yang berbeda?

2. Sebuah kata sandi terdiri dari $1$ huruf yang diikuti $2$ digit. Huruf dipilih dari A, B, C, D, sedangkan digit dipilih dari $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ tanpa pengulangan. Berapa banyak kata sandi yang dapat dibuat?

3. Dari kota $P$ ke kota $R$ melalui kota $Q$, terdapat $3$ jalan dari $P$ ke $Q$ dan $4$ jalan dari $Q$ ke $R$. Berapa banyak rute berbeda yang dapat dipilih untuk perjalanan dari $P$ ke $R$?

4. Nomor pelat kendaraan terdiri dari $2$ huruf yang diikuti $3$ digit. Jika tersedia $26$ huruf dan $10$ digit $0\text{-}9$, serta pengulangan diperbolehkan, berapa banyak nomor pelat yang dapat dibuat?

Kunci Jawaban

1. Diketahui: $4 \text{ merek}$, $3 \text{ kapasitas memori}$, $5 \text{ pilihan warna}$

   Jumlah pilihan ponsel adalah:

   $$4\times3\times5=60$$

2. Diketahui: $1 \text{ huruf}$ dari $\{A, B, C, D\}$, $2 \text{ digit}$ dari $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ tanpa pengulangan

   Tersedia $4$ pilihan huruf dan $5$ pilihan digit pertama. Karena digit tidak boleh berulang, tersisa $4$ pilihan untuk digit kedua.

   $$\begin{aligned} &\text{Jumlah kata sandi} \\ &= 4 \times 5 \times 4 \\ &= 80 \text{ kata sandi} \end{aligned}$$

3. Diketahui: $3 \text{ jalan}$ dari $P$ ke $Q$, $4 \text{ jalan}$ dari $Q$ ke $R$

   $$\begin{aligned} &\text{Total rute} \\ &= 3 \times 4 \\ &= 12 \text{ rute berbeda} \end{aligned}$$

4. Diketahui: $2 \text{ huruf}$ dari $26 \text{ huruf}$, $3 \text{ digit}$ dari $10 \text{ digit}$, pengulangan diperbolehkan

   $$\begin{aligned} &\text{Pilihan huruf pertama} = 26 \end{aligned}$$

   Huruf kedua memiliki $26$ pilihan.

   $$\text{Pilihan setiap digit} = 10$$

   Jumlah seluruh pelat nomor adalah:

   $$26\times26\times10\times10\times10$$

   $$\begin{aligned} &= 676 \times 1000 \\ &= 676000 \text{ nomor pelat} \end{aligned}$$