Kombinasi

Memilih Objek tanpa Memperhatikan Urutan

Misalkan kamu memilih $3 \text{ orang}$ teman untuk tim futsal. Memilih Ana, Budi, dan Citra menghasilkan tim yang sama dalam urutan apa pun. Yang penting adalah siapa saja yang terpilih.

Inilah perbedaan utama antara kombinasi dan permutasi. Kombinasi memilih sejumlah objek dari himpunan yang lebih besar ketika urutan tidak diperhatikan.

Dalam kehidupan sehari-hari, kombinasi sering kita temui ketika:

Memilih hidangan dari sebuah menu
Menentukan anggota tim untuk suatu kegiatan
Memilih mata pelajaran pilihan di sekolah
Menentukan kombinasi warna untuk desain

Dalam permutasi, $ABC$ dan $BAC$ merupakan susunan yang berbeda. Dalam kombinasi, keduanya merupakan pilihan yang sama karena anggotanya tidak berubah.

Rumus Kombinasi

Untuk menentukan banyaknya cara memilih $k$ objek dari $n$ objek yang tersedia, kita menggunakan rumus kombinasi:

C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Pada rumus ini:

$C(n,k)$ atau $\binom{n}{k}$ berarti kombinasi $k$ objek dari $n$ objek
$n$ adalah total objek yang tersedia
$k$ adalah banyaknya objek yang dipilih
$n!$ adalah faktorial dari $n$

Mengapa rumus ini berbeda dari permutasi?

Rumus kombinasi diperoleh dengan membagi banyak permutasi dengan $k!$ :

C(n,k) = \frac{P(n,k)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Kita membagi dengan $k!$ karena pilihan berisi $k$ objek dapat disusun dalam $k!$ urutan. Kombinasi menghitung semua urutan itu sebagai satu pilihan.

Menghitung Pilihan Dengan dan Tanpa Syarat

Pembentukan Tim Olahraga:

Dari $10 \text{ siswa}$ yang tersedia, berapa cara memilih $5 \text{ siswa}$ untuk tim basket?

C(10,5) = \frac{10!}{5! \times 5!}

Pemilihan Menu Makanan:

Sebuah restoran menawarkan $8$ jenis makanan dan kamu boleh memilih $3$ jenis. Berapa banyak kombinasi pilihan yang mungkin?

C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!}

Situasi dengan Syarat Khusus:

Beberapa pemilihan memiliki syarat tambahan. Misalnya, dari $12 \text{ siswa}$ ( $7 \text{ laki-laki}$ dan $5 \text{ perempuan}$ ), pilih $4 \text{ siswa}$ dengan minimal $2 \text{ perempuan}$ .

Strategi penyelesaian:

Hitung semua kemungkinan yang memenuhi syarat
Pisahkan berdasarkan kondisi: $2 \text{ perempuan} + 2 \text{ laki-laki}$ , $3 \text{ perempuan} + 1 \text{ laki-laki}$ , atau $4 \text{ perempuan}$
Jumlahkan semua kemungkinan

Perhitungan detail:

Kasus 1: $2 \text{ perempuan} + 2 \text{ laki-laki}$

\begin{aligned} &C(5,2) \times C(7,2) \\ &= \frac{5!}{3! \times 2!} \times \frac{7!}{5! \times 2!} \end{aligned}

Kasus 2: $3 \text{ perempuan} + 1 \text{ laki-laki}$

\begin{aligned} &C(5,3) \times C(7,1) \\ &= \frac{5!}{2! \times 3!} \times \frac{7!}{6! \times 1!} \end{aligned}

Kasus 3: $4 \text{ perempuan} + 0 \text{ laki-laki}$

C(5,4) = \frac{5!}{1! \times 4!} = \frac{5}{1} = 5

Total: $210 + 70 + 5 = 285$ cara

Latihan

Kerjakan setiap soal sebelum membuka pembahasannya. Tentukan lebih dahulu apakah urutan berpengaruh, lalu daftarkan semua kasus yang memenuhi syarat tanpa tumpang tindih.

Dari $8 \text{ buku}$ yang berbeda, berapa cara memilih $3 \text{ buku}$ untuk dibaca selama liburan?
Sebuah tim futsal memiliki $12 \text{ pemain}$ . Berapa cara memilih $5 \text{ pemain}$ untuk bermain di lapangan?
Dalam sebuah kotak terdapat $6 \text{ bola}$ merah dan $4 \text{ bola}$ biru. Berapa cara mengambil $5 \text{ bola}$ dengan syarat minimal $3 \text{ bola}$ merah?
Seorang siswa memilih $4 \text{ mata pelajaran}$ dari $10 \text{ mata pelajaran}$ yang tersedia. Jika $6 \text{ mata pelajaran}$ adalah sains dan $4 \text{ mata pelajaran}$ adalah humaniora, berapa pilihan yang memuat minimal $2 \text{ mata pelajaran sains}$ ?

Pembahasan

Jawaban: $56 \text{ cara}$

Langkah penyelesaian:

Diketahui: $n = 8$ buku, dipilih $k = 3$ buku

Rumus kombinasi:
$C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}$
Jadi, ada $56 \text{ cara}$ memilih $3 \text{ buku}$ dari $8 \text{ buku}$ yang tersedia.
Jawaban: $792 \text{ cara}$

Langkah penyelesaian:

Diketahui: $n = 12$ pemain, dipilih $k = 5$ pemain

Rumus kombinasi:
$C(12,5) = \frac{12!}{7! \times 5!}$
Tim futsal dapat memilih $5 \text{ pemain}$ dari $12 \text{ pemain}$ dengan $792 \text{ cara}$ berbeda.
Jawaban: $186 \text{ cara}$

Langkah penyelesaian (metode kasus):

Total bola: $6 \text{ merah} + 4 \text{ biru}$ adalah $10 \text{ bola}$

Ambil $5 \text{ bola}$ dengan minimal $3$ bola merah

Rincian perhitungan setiap kasus:

Kasus 1: $3 \text{ merah} + 2 \text{ biru}$
$\begin{aligned} &C(6,3) \times C(4,2) \\ &= \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{2! \times 2!} \end{aligned}$
Kasus 2: $4 \text{ merah} + 1 \text{ biru}$
$\begin{aligned} &C(6,4) \times C(4,1) \\ &= \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{3! \times 1!} \end{aligned}$
Kasus 3: $5 \text{ merah} + 0 \text{ biru}$
$\begin{aligned} &C(6,5) \times C(4,0) \\ &= \frac{6!}{1! \times 5!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} \end{aligned}$
Total: $120 + 60 + 6 = 186$

Ada $186 \text{ cara}$ mengambil $5 \text{ bola}$ dengan minimal $3$ bola merah.
Jawaban: $185 \text{ cara}$

Langkah penyelesaian (metode kasus):

Mata pelajaran sains: $6$ , mata pelajaran humaniora: $4$

Pilih $4 \text{ mata pelajaran}$ dengan minimal $2 \text{ sains}$

Rincian perhitungan setiap kasus:

Kasus 1: $2 \text{ sains} + 2 \text{ humaniora}$
$\begin{aligned} &C(6,2) \times C(4,2) \\ &= \frac{6!}{4! \times 2!} \times \frac{4!}{2! \times 2!} \end{aligned}$
Kasus 2: $3 \text{ sains} + 1 \text{ humaniora}$
$\begin{aligned} &C(6,3) \times C(4,1) \\ &= \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{3! \times 1!} \end{aligned}$
Kasus 3: $4 \text{ sains} + 0 \text{ humaniora}$
$\begin{aligned} &C(6,4) \times C(4,0) \\ &= \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} \end{aligned}$
Total: $90 + 80 + 15 = 185$

Ada $185 \text{ cara}$ memilih mata pelajaran dengan syarat yang diberikan.