Binomial Newton

Mengembangkan $(x + y)^{10}$ dengan perkalian berulang memerlukan banyak langkah. menulis secara langsung sebagai penjumlahan dengan koefisien binomial.

Beranda

Binomial Newton

Mengembangkan $(x + y)^{10}$ dengan perkalian berulang memerlukan banyak langkah. menulis secara langsung sebagai penjumlahan dengan koefisien binomial.

Teorema binomial Newton

(x + y)^n

Koefisiennya mengikuti pola yang sama untuk setiap pangkat bilangan bulat nonnegatif.

Lihat pola dasar untuk beberapa pangkat pertama:

(x + y)^0 = 1

Koefisiennya berubah sesuai pangkat, tetapi posisinya mengikuti satu aturan yang konsisten.

Rumus Umum dan Koefisien Binomial

Rumus umum binomial Newton dapat ditulis sebagai:

(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k

Koefisien binomial $\binom{n}{k}$ dihitung dengan rumus:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Koefisien binomial ini juga dikenal sebagai " $n$ pilih $k$ " karena menunjukkan berapa banyak cara memilih $k$ objek dari $n$ objek yang tersedia.

Bentuk ekspansi lengkap dapat ditulis sebagai:

(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \cdots + \binom{n}{n}y^n

Setiap suku dalam ekspansi memiliki bentuk $\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$ . Jumlah pangkat $x$ dan $y$ selalu $n$ .

Mencari Koefisien Tertentu

Teorema binomial Newton dapat mencari koefisien suku tertentu tanpa mengembangkan seluruh ekspresi.

Misalkan kita ingin mencari koefisien dari $x^2$ dalam ekspansi $(1 - x)^{2014}$ .

Pertama, kita tulis ulang dalam bentuk binomial standar dengan $a = 1$ , $b = -x$ , dan $n = 2014$ :

(1 + (-x))^{2014} = \sum_{k=0}^{2014} \binom{2014}{k} (1)^{2014-k} (-x)^k

Untuk mendapat suku yang mengandung $x^2$ , kita perlu $k = 2$ :

\binom{2014}{2} (1)^{2012} (-x)^2 = \binom{2014}{2} \cdot 1 \cdot x^2 = \binom{2014}{2} x^2

Menghitung koefisien binomial:

\binom{2014}{2} = \frac{2014!}{2!(2014-2)!} = \frac{2014 \times 2013}{2 \times 1}

Jadi, koefisien dari $x^2$ adalah $2{.}027{.}091$ .

Mencari Suku Konstanta

Suku konstanta tidak mengandung variabel. Untuk menemukannya, cari suku dengan pangkat nol pada semua variabel.

Contoh: Tentukan suku konstanta dari $\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8$ .

Kita tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 3x^3$ dan $b = -\frac{2}{x}$ :

\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (3x^3)^{8-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k

Suku umum adalah:

\binom{8}{k} (3x^3)^{8-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k = \binom{8}{k} \cdot (3)^{8-k} \cdot (x^3)^{8-k} \cdot (-2)^k \cdot (x^{-1})^k

Untuk suku konstanta, pangkat $x$ harus nol:

24 - 4k = 0 \Rightarrow 4k = 24 \Rightarrow k = 6

Substitusi $k = 6$ :

\binom{8}{6} \cdot 3^{8-6} \cdot (-2)^6 \cdot x^0 = \binom{8}{6} \cdot 3^2 \cdot (-2)^6

Perhatikan bahwa $(-2)^6 = 64$ karena pangkat genap selalu menghasilkan nilai positif, sama seperti $(+2)^6 = 64$ .

Jadi, suku konstanta adalah $16{.}128$ .

Strategi Penyelesaian Masalah

Saat menghadapi soal binomial Newton, ikuti langkah sistematis berikut:

Identifikasi komponen dalam bentuk $(a + b)^n$ dan tentukan nilai $a$ , $b$ , dan $n$ dengan jelas.
Tentukan jenis suku yang dicari, apakah koefisien tertentu, suku konstanta, atau suku dengan pangkat tertentu.
Gunakan rumus suku umum $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ dan sesuaikan dengan kondisi yang diminta.
Hitung dengan teliti nilai koefisien binomial dan operasi aritmatika lainnya.

Contoh Penerapan Strategi:

Tentukan koefisien dari $x^5$ dalam ekspansi $(2x + 3)^8$ .

Identifikasi komponen

Dari $(2x + 3)^8$ , kita peroleh:
- $a = 2x$
- $b = 3$
- $n = 8$
Tentukan jenis suku

Kita mencari koefisien dari suku yang mengandung $x^5$ .
Gunakan rumus suku umum

Suku umum: $\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k$
Hitung dengan teliti

Substitusi $k = 3$ :
$\binom{8}{3} \cdot 2^{8-3} \cdot 3^3 \cdot x^5 = \binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot 3^3 \cdot x^5$

Dua pemeriksaan membantu menemukan kesalahan: setiap suku dalam ekspansi memiliki derajat total $n$ , dan koefisien binomial bersifat simetris: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

Latihan

Tentukan koefisien dari $x^4$ dalam ekspansi $(2x - 3)^7$ .
Hitunglah suku konstanta dari $\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^9$ .
Dalam ekspansi $(1 + 2x)^{10}$ , tentukan suku yang mengandung $x^3$ .

Kunci Jawaban

Penyelesaian:

Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 2x$ , $b = -3$ , dan $n = 7$ .

Suku umum: $\binom{7}{k} (2x)^{7-k} (-3)^k = \binom{7}{k} \cdot 2^{7-k} \cdot (-3)^k \cdot x^{7-k}$

Untuk koefisien $x^4$ , perlu $7-k = 4$ , sehingga $k = 3$ .
$\binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-3)^3 = \binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-3)^3$
Jadi, koefisien dari $x^4$ adalah $-15{.}120$ .
Penyelesaian:

Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = x^2$ , $b = \frac{1}{x}$ , dan .
Penyelesaian:

Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 1$ , $b = 2x$ , dan $n = 10$ .

Suku umum: $\binom{10}{k} (1)^{10-k} (2x)^k = \binom{10}{k} \cdot 2^k \cdot x^k$

Ekspansi suku umum:

\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{8-k} \cdot 3^k = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot 3^k \cdot x^{8-k}

Untuk mendapat $x^5$ , perlu $8-k = 5$ , sehingga $k = 3$ .

= \frac{8!}{3! \cdot 5!} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5

= \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5

= 56 \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5

= 1{.}792 \cdot 27 \cdot x^5 = 48{.}384x^5

Jadi, koefisien dari $x^5$ adalah $48{.}384$ .

= \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot 16 \cdot (-27)

= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \cdot 16 \cdot (-27)

= 35 \cdot 16 \cdot (-27) = 560 \cdot (-27) = -15{.}120

n = 9

\text{Suku umum: } \binom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \binom{9}{k} \cdot x^{2(9-k)} \cdot x^{-k}

Untuk suku konstanta, pangkat $x$ harus nol: $18-3k = 0$ , sehingga $k = 6$ .

\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

Jadi, suku konstanta adalah $84$ .

Untuk suku yang mengandung $x^3$ , perlu $k = 3$ .

\binom{10}{3} \cdot 2^3 \cdot x^3 = 120 \cdot 8 \cdot x^3 = 960x^3

Jadi, suku yang mengandung $x^3$ adalah $960x^3$ .