Binomial Newton

Pola Koefisien pada Perpangkatan Binomial

Mengembangkan $(x + y)^{10}$ dengan perkalian berulang memerlukan banyak langkah. Teorema binomial Newton menulis $(x + y)^n$ secara langsung sebagai penjumlahan dengan koefisien binomial.

Koefisiennya mengikuti pola yang sama untuk setiap pangkat bilangan bulat nonnegatif.

Lihat pola dasar untuk beberapa pangkat pertama:

Koefisiennya berubah sesuai pangkat, tetapi posisinya mengikuti satu aturan yang konsisten.

Rumus Umum dan Koefisien Binomial

Koefisien binomial $\binom{n}{k}$ dihitung dengan rumus:

Koefisien binomial ini juga dikenal sebagai "$n$ pilih $k$" karena menunjukkan berapa banyak cara memilih $k$ objek dari $n$ objek yang tersedia.

Bentuk ekspansi lengkap dapat ditulis sebagai:

Setiap suku dalam ekspansi memiliki bentuk $\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$. Jumlah pangkat $x$ dan $y$ selalu $n$.

Mencari Koefisien Tertentu

Teorema binomial Newton dapat mencari koefisien suku tertentu tanpa mengembangkan seluruh ekspresi.

Misalkan kita ingin mencari koefisien dari $x^2$ dalam ekspansi $(1 - x)^{2014}$.

Kita tulis ulang dalam bentuk binomial standar dengan $a = 1$, $b = -x$, dan $n = 2014$:

Untuk mendapat suku yang mengandung $x^2$, kita perlu $k = 2$:

Menghitung koefisien binomial:

Jadi, koefisien dari $x^2$ adalah $2{.}027{.}091$.

Mencari Suku Konstanta

Suku konstanta tidak mengandung variabel. Untuk menemukannya, cari suku dengan pangkat nol pada semua variabel.

Contoh: Tentukan suku konstanta dari $\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8$.

Kita tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 3x^3$ dan $b = -\frac{2}{x}$:

Suku umum adalah:

Untuk suku konstanta, pangkat $x$ harus nol:

Substitusi $k = 6$:

Perhatikan bahwa $(-2)^6 = 64$ karena pangkat genap selalu menghasilkan nilai positif, sama seperti $(+2)^6 = 64$.

Jadi, suku konstanta adalah $16{.}128$.

Strategi Penyelesaian Masalah

Saat menghadapi soal binomial Newton, ikuti langkah sistematis berikut:

1. Identifikasi komponen dalam bentuk $(a + b)^n$ dan tentukan nilai $a$, $b$, dan $n$ dengan jelas.

2. Tentukan jenis suku yang dicari, apakah koefisien tertentu, suku konstanta, atau suku dengan pangkat tertentu.

3. Gunakan rumus suku umum $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ dan sesuaikan dengan kondisi yang diminta.

4. Hitung dengan teliti nilai koefisien binomial dan operasi aritmatika lainnya.

Contoh Penerapan Strategi:

Tentukan koefisien dari $x^5$ dalam ekspansi $(2x + 3)^8$.

1. Identifikasi komponen

   Dari $(2x + 3)^8$, kita peroleh:

   • $a = 2x$
   • $b = 3$
   • $n = 8$

2. Tentukan jenis suku

   Kita mencari koefisien dari suku yang mengandung $x^5$.

3. Gunakan rumus suku umum

   Suku umum: $\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k$

   Ekspansi suku umum:

   $$\begin{aligned} &\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k \\ &= \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{8-k} \cdot 3^k \\ &= \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot 3^k \cdot x^{8-k} \end{aligned}$$

   Untuk mendapat $x^5$, perlu $8-k = 5$, sehingga $k = 3$.

4. Hitung dengan teliti

   Substitusi $k = 3$:

   $$\begin{aligned} &\binom{8}{3} \cdot 2^{8-3} \cdot 3^3 \cdot x^5 \\ &= \binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot 3^3 \cdot x^5 \end{aligned}$$

   $$= \frac{8!}{3! \cdot 5!} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5$$

   $$= 56 \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5$$

   $$= 1{.}792 \cdot 27 \cdot x^5 = 48{.}384x^5$$

   Jadi, koefisien dari $x^5$ adalah $48{.}384$.

Dua pemeriksaan membantu menemukan kesalahan: setiap suku dalam ekspansi memiliki derajat total $n$, dan koefisien binomial bersifat simetris: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

Latihan

Setiap soal meminta satu suku dari satu ekspansi. Pakai rumus suku umum, lalu cocokkan pangkat yang disebut soal.

1. Tentukan koefisien dari $x^4$ dalam ekspansi $(2x - 3)^7$.

2. Hitunglah suku konstanta dari $\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^9$.

3. Dalam ekspansi $(1 + 2x)^{10}$, tentukan suku yang mengandung $x^3$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 2x$, $b = -3$, dan $n = 7$.

   Suku umum: $\binom{7}{k} (2x)^{7-k} (-3)^k = \binom{7}{k} \cdot 2^{7-k} \cdot (-3)^k \cdot x^{7-k}$

   Untuk koefisien $x^4$, perlu $7-k = 4$, sehingga $k = 3$.

   $$\begin{aligned} &\binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-3)^3 \\ &= \binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-3)^3 \end{aligned}$$

   $$= \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot 16 \cdot (-27)$$

   $$= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \cdot 16 \cdot (-27)$$

   $$\begin{aligned} &= 35 \cdot 16 \cdot (-27) \\ &= 560 \cdot (-27) \\ &= -15{.}120 \end{aligned}$$

   Jadi, koefisien dari $x^4$ adalah $-15{.}120$.

2. Penyelesaian:

   Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = x^2$, $b = \frac{1}{x}$, dan $n = 9$.

   Suku umumnya adalah:

   $$\begin{aligned} &\binom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k \\ &=\binom{9}{k} \cdot x^{2(9-k)} \cdot x^{-k} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &= \binom{9}{k} \cdot x^{18-2k} \cdot x^{-k} \\ &= \binom{9}{k} \cdot x^{18-2k-k} \\ &= \binom{9}{k} \cdot x^{18-3k} \end{aligned}$$

   Untuk suku konstanta, pangkat $x$ harus nol: $18-3k = 0$, sehingga $k = 6$.

   $$\begin{aligned} \binom{9}{6} &= \binom{9}{3} \\ &= \frac{9!}{3! \cdot 6!} \\ &= \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \\ &= 84 \end{aligned}$$

   Jadi, suku konstanta adalah $84$.

3. Penyelesaian:

   Tulis dalam bentuk binomial dengan $a = 1$, $b = 2x$, dan $n = 10$.

   Suku umum: $\binom{10}{k} (1)^{10-k} (2x)^k = \binom{10}{k} \cdot 2^k \cdot x^k$

   Untuk suku yang mengandung $x^3$, perlu $k = 3$.

   $$\begin{aligned} \binom{10}{3} \cdot 2^3 \cdot x^3 &= 120 \cdot 8 \cdot x^3 \\ &= 960x^3 \end{aligned}$$

   Jadi, suku yang mengandung $x^3$ adalah $960x^3$.