For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Kejadian dan saling bebas jika menjadikan salah satunya sebagai syarat tidak mengubah peluang kejadian lainnya. Sifat ini ditentukan oleh model peluang. Kejadian yang terjadi bersamaan belum tentu saling bebas.
Dua kejadian dapat memiliki penyebab bersama meskipun tidak saling mengendalikan. Dua alarm, misalnya, dapat bereaksi terhadap kejadian yang sama. Anggap dua kejadian saling bebas hanya jika model peluang menyatakannya atau peluang bersyaratnya membuktikannya.
Pada kejadian saling bebas, informasi tentang satu kejadian tidak mengubah peluang kejadian lain. Kejadiannya dapat berasal dari percobaan yang sama atau percobaan terpisah. Kita menentukan kebebasan melalui peluang setiap kejadian dan peluang irisannya.
Ciri utama kejadian saling bebas adalah hasil satu kejadian tidak mengubah probabilitas kejadian lainnya. Dalam notasi matematika, jika dan saling bebas serta , maka:
Artinya probabilitas terjadi ketika sudah terjadi sama dengan probabilitas terjadi secara umum.
Contoh dengan mekanisme yang jelas saling bebas meliputi:
Untuk menguji kebebasan, tanyakan: “Apakah mengetahui hasil pertama mengubah distribusi peluang hasil kedua?” Dugaan hubungan sebab-akibat saja belum cukup. Gunakan model yang dinyatakan atau bandingkan peluang bersyarat dengan peluang biasa.
Sebagai contoh dari satu lemparan dadu adil, ambil dan . Tabel memperlihatkan keanggotaan keenam hasil.
| Hasil | Anggota A | Anggota B |
|---|---|---|
| 1 | Tidak | Tidak |
| 2 | Ya | Tidak |
| 3 | Tidak | Ya |
| 4 | Ya | Tidak |
| 5 | Tidak | Tidak |
| 6 | Ya | Ya |
Jadi, kedua kejadian saling bebas meskipun berasal dari satu lemparan dan memiliki irisan .
Karena kejadian saling bebas tidak saling memengaruhi, perhitungan probabilitas gabungannya menjadi sederhana. Rumus dasar untuk probabilitas kejadian saling bebas adalah:
Rumus ini menunjukkan bahwa probabilitas kedua kejadian dan terjadi bersamaan sama dengan perkalian probabilitas masing-masing kejadian.
Berbeda dengan kejadian yang saling memengaruhi, pada kejadian saling bebas probabilitas kondisional sama dengan probabilitas biasa. Karena , aturan perkalian menjadi:
Dengan memasukkan ke aturan perkalian, kita memperoleh .
Setiap perhitungan berikut mengalikan peluang dua kejadian saling bebas. Contohnya bergerak dari dua dadu ke satu dadu dan satu koin, lalu ke uji mandiri dua sensor.
Dua dadu adil dilempar secara independen, satu dadu merah dan satu dadu putih. Tentukan probabilitas mendapatkan angka pada dadu merah dan angka pada dadu putih.
Penyelesaian:
Kedua kejadian ini saling bebas karena hasil dadu merah tidak memengaruhi hasil dadu putih.
Jadi probabilitas mendapatkan angka pada dadu merah dan angka pada dadu putih adalah .
Sebuah dadu adil dan sebuah koin adil dilempar secara independen. Tentukan probabilitas mendapatkan angka genap pada dadu dan gambar pada koin.
Penyelesaian:
Kedua kejadian saling bebas karena hasil dadu tidak memengaruhi hasil koin.
Dua sensor pemantauan dengan sumber daya terpisah menjalankan uji mandiri setiap hari. Sensor berhasil dengan peluang , sedangkan sensor berhasil dengan peluang . Dalam model yang menyatakan keduanya saling bebas, berapa peluang kedua uji berhasil?
Asumsi kebebasan merupakan bagian dari model ini. Jika kedua sensor memakai sumber daya atau jaringan yang sama, asumsi tersebut harus diperiksa kembali.
Penyelesaian:
Soal menyatakan bahwa kedua uji saling bebas, sehingga satu hasil tidak mengubah peluang hasil lainnya.
Perhitungan detail:
Jadi peluang kedua sensor lulus adalah atau .
Perkalian peluang dapat memberi jawaban salah jika kebebasan belum dipastikan. Pemeriksaan kebebasan menentukan apakah peluang individual boleh langsung dikalikan. Setelah menghitung, bandingkan peluang irisan dengan peluang masing-masing kejadian untuk memeriksa batas hasil.
Untuk menyelesaikan soal probabilitas kejadian saling bebas, ikuti langkah berikut:
Peluang kedua kejadian terjadi tidak boleh lebih besar daripada peluang salah satu kejadian. Irisan hanya berisi hasil yang sudah termasuk masing-masing kejadian.
Pada contoh sensor, , jadi batas terpenuhi. Batas ini belum membuktikan kebebasan. Bukti kebebasan tetap berasal dari model atau kesamaan peluang bersyarat.
Perhatikan karakteristik berikut untuk mengidentifikasi kejadian saling bebas:
Saling bebas dalam model yang dinyatakan:
Situasi yang tidak boleh langsung dianggap saling bebas:
Dua koin adil dilempar secara independen. Tentukan probabilitas mendapatkan angka pada koin pertama dan gambar pada koin kedua.
Sebuah dadu adil dilempar secara independen dari pengambilan satu kartu pada set kartu standar yang telah dikocok. Hitunglah peluang mendapatkan bilangan prima pada dadu dan kartu berwarna merah.
Dalam sebuah kelas, probabilitas seorang siswa lulus matematika adalah dan probabilitas lulus fisika adalah . Jika kedua mata pelajaran independen, berapa probabilitas siswa tersebut lulus kedua mata pelajaran?
Tiga koin adil dilempar secara independen. Tentukan probabilitas mendapatkan tepat dua gambar.
Coba kerjakan setiap latihan sebelum membaca pembahasannya. Jelaskan alasan kedua kejadian saling bebas sebelum mengalikan peluangnya.
Soal 1
Kedua kejadian saling bebas karena hasil koin pertama tidak memengaruhi koin kedua.
Soal 2
Kedua kejadian saling bebas.
Soal 3
Karena kedua mata pelajaran independen:
Jadi probabilitas lulus kedua mata pelajaran adalah atau .
Soal 4
Cara 1: Enumerasi Langsung
Gunakan untuk sisi angka dan untuk sisi gambar. Ruang sampel koin memuat hasil:
Tepat dua sisi gambar terjadi pada , sehingga ada hasil yang diinginkan.
Cara 2: Menggunakan Distribusi Binomial
Untuk lemparan dengan probabilitas sukses (gambar) , probabilitas tepat sukses adalah:
Substitusi nilai:
Penjelasan langkah per langkah:
Kalikan ketiga faktor peluang tersebut:
Jadi probabilitas mendapatkan tepat dua gambar adalah .
Diterbitkan: . Diperbarui: .
