Peluang Kejadian Majemuk Saling Bebas

Informasi Satu Hasil Tidak Mengubah Peluang Hasil Lain

Sebagian model peluang memuat kejadian ketika informasi tentang satu hasil tidak mengubah peluang hasil lainnya. Lempar sebuah koin adil dan sebuah dadu adil. Mengetahui hasil koin tidak memberi informasi tentang hasil dadu, sehingga kedua kejadian saling bebas.

Kejadian $A$ dan $B$ saling bebas jika menjadikan salah satunya sebagai syarat tidak mengubah peluang kejadian lainnya. Sifat ini ditentukan oleh model peluang. Kejadian yang terjadi bersamaan belum tentu saling bebas.

Dua kejadian dapat memiliki penyebab bersama meskipun tidak saling mengendalikan. Dua alarm, misalnya, dapat bereaksi terhadap kejadian yang sama. Anggap dua kejadian saling bebas hanya jika model peluang menyatakannya atau peluang bersyaratnya membuktikannya.

Cara Kejadian Saling Bebas Terlihat pada Peluang

Kejadian saling bebas tidak mengubah peluang kedua ketika hasil pertama sudah diketahui, dan keduanya juga harus berasal dari percobaan terpisah. Tiga pemeriksaan berikut menyatakan gagasan itu dalam bentuk yang berbeda.

Peluang Bersyarat Tetap Sama

Ciri utama kejadian saling bebas adalah hasil satu kejadian tidak mengubah probabilitas kejadian lainnya. Dalam notasi matematika, jika $A$ dan $B$ saling bebas serta $P(B) > 0$, maka:

Artinya probabilitas $A$ terjadi ketika $B$ sudah terjadi sama dengan probabilitas $A$ terjadi secara umum.

Percobaan Acak yang Terpisah

Contoh dengan mekanisme yang jelas saling bebas meliputi:

• melempar dua koin adil yang terpisah
• mengambil satu kartu dari masing-masing dua set kartu yang dikocok secara terpisah
• melempar dua dadu adil yang terpisah
• menghasilkan dua angka acak melalui percobaan yang independen

Identifikasi Kejadian Saling Bebas

Untuk menguji kebebasan, tanyakan: “Apakah mengetahui hasil pertama mengubah distribusi peluang hasil kedua?” Dugaan hubungan sebab-akibat saja belum cukup. Gunakan model yang dinyatakan atau bandingkan peluang bersyarat dengan peluang biasa.

Rumus Peluang Kejadian Saling Bebas

Karena kejadian saling bebas tidak saling memengaruhi, perhitungan probabilitas gabungannya menjadi sederhana. Rumus dasar untuk probabilitas kejadian saling bebas adalah:

Rumus ini menunjukkan bahwa probabilitas kedua kejadian $A$ dan $B$ terjadi bersamaan sama dengan perkalian probabilitas masing-masing kejadian.

Mengapa Kedua Peluang Dikalikan

Berbeda dengan kejadian yang saling memengaruhi, pada kejadian saling bebas probabilitas kondisional sama dengan probabilitas biasa. Karena $P(A|B) = P(A)$, aturan perkalian menjadi:

Dengan memasukkan $P(A|B)=P(A)$ ke aturan perkalian, kita memperoleh $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Perhitungan Kejadian Saling Bebas

Setiap perhitungan berikut mengalikan peluang dua kejadian saling bebas. Contohnya bergerak dari dua dadu ke satu dadu dan satu koin, lalu ke uji mandiri dua sensor.

Pelemparan Dua Dadu

Dua dadu dilempar bersamaan, satu dadu merah dan satu dadu putih. Tentukan probabilitas mendapatkan angka $2$ pada dadu merah dan angka $5$ pada dadu putih.

Penyelesaian:

• Kejadian $A$: munculnya angka $2$ pada dadu merah
• Kejadian $B$: munculnya angka $5$ pada dadu putih

Kedua kejadian ini saling bebas karena hasil dadu merah tidak memengaruhi hasil dadu putih.

Jadi probabilitas mendapatkan angka $2$ pada dadu merah dan angka $5$ pada dadu putih adalah $\frac{1}{36}$.

Pelemparan Dadu dan Koin

Sebuah dadu dan sebuah koin dilempar bersamaan. Tentukan probabilitas mendapatkan angka genap pada dadu dan gambar pada koin.

Penyelesaian:

• Kejadian $A$: munculnya angka genap pada dadu adalah $\{2, 4, 6\}$
• Kejadian $B$: sisi gambar pada koin, yang dilambangkan dengan $1$, adalah $\{1\}$

Kedua kejadian saling bebas karena hasil dadu tidak memengaruhi hasil koin.

Uji Mandiri Dua Sensor Saling Bebas

Dua sensor pemantauan dengan sumber daya terpisah menjalankan uji mandiri setiap hari. Sensor $A$ berhasil dengan peluang $0{,}98$, sedangkan sensor $B$ berhasil dengan peluang $0{,}92$. Dalam model yang menyatakan keduanya saling bebas, berapa peluang kedua uji berhasil?

Asumsi kebebasan merupakan bagian dari model ini. Jika kedua sensor memakai sumber daya atau jaringan yang sama, asumsi tersebut harus diperiksa kembali.

Penyelesaian:

• Kejadian $A$: sensor pertama lulus uji mandiri
• Kejadian $B$: sensor kedua lulus uji mandiri

Soal menyatakan bahwa kedua uji saling bebas, sehingga satu hasil tidak mengubah peluang hasil lainnya.

Perhitungan detail:

Jadi peluang kedua sensor lulus adalah $0{,}9016$ atau $90{,}16\%$.

Cara Mengerjakan Soal Kejadian Saling Bebas

Kesalahan paling sering pada soal seperti ini adalah mengalikan sebelum memastikan kejadiannya saling bebas. Langkah di bawah menempatkan pemeriksaan itu di awal dan menutupnya dengan pemeriksaan jawaban.

Periksa Kebebasan Sebelum Mengalikan

Untuk menyelesaikan soal probabilitas kejadian saling bebas, ikuti langkah berikut:

1. Identifikasi kejadian yang terlibat dalam masalah
2. Verifikasi kejadian saling bebas melalui model yang dinyatakan atau peluang bersyaratnya
3. Hitung probabilitas individual setiap kejadian
4. Terapkan rumus $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
5. Periksa hasil apakah masuk akal dalam konteks masalah

Pemeriksaan Hasil Akhir

Gunakan pemeriksaan berikut:

• Visualisasikan kejadian dengan diagram pohon jika diperlukan
• Periksa kebebasan melalui model atau peluang bersyarat. Waktu kejadian saja belum membuktikannya
• Periksa konsistensi hasil dengan menggunakan pendekatan berbeda
• Gunakan konteks untuk memvalidasi apakah jawaban masuk akal

Mengenali Kejadian Saling Bebas

Perhatikan karakteristik berikut untuk mengidentifikasi kejadian saling bebas:

Saling bebas dalam model yang dinyatakan:

• lemparan koin adil yang terpisah
• pengambilan kartu dengan pengembalian dan pengocokan ulang
• lemparan dadu adil yang terpisah
• percobaan angka acak yang independen

Situasi yang tidak boleh langsung dianggap saling bebas:

• Pengambilan kartu tanpa pengembalian
• Tinggi dan berat badan seseorang, kecuali model atau data membuktikan kebebasannya
• Nilai siswa yang sama pada mata pelajaran berbeda, kecuali kebebasannya telah ditetapkan
• Suhu dan kelembapan udara, kecuali kebebasannya telah ditetapkan untuk model tersebut

Latihan

1. Dua koin adil dilempar secara independen. Tentukan probabilitas mendapatkan angka pada koin pertama dan gambar pada koin kedua.

2. Sebuah dadu adil dilempar secara independen dari pengambilan satu kartu pada set kartu standar yang telah dikocok. Hitunglah peluang mendapatkan bilangan prima pada dadu dan kartu berwarna merah.

3. Dalam sebuah kelas, probabilitas seorang siswa lulus matematika adalah $0{,}85$ dan probabilitas lulus fisika adalah $0{,}78$. Jika kedua mata pelajaran independen, berapa probabilitas siswa tersebut lulus kedua mata pelajaran?

4. Tiga koin adil dilempar secara independen. Tentukan probabilitas mendapatkan tepat dua gambar.

Coba kerjakan setiap latihan sebelum membaca pembahasannya. Jelaskan alasan kedua kejadian saling bebas sebelum mengalikan peluangnya.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   • Kejadian $A$: angka pada koin pertama, $P(A) = \frac{1}{2}$
   • Kejadian $B$: gambar pada koin kedua, $P(B) = \frac{1}{2}$

   Kedua kejadian saling bebas karena hasil koin pertama tidak memengaruhi koin kedua.

   $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

2. Penyelesaian:

   • Kejadian $A$: angka prima pada dadu adalah $\{2, 3, 5\}$, sehingga $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
   • Kejadian $B$: kartu merah (hati dan wajik), sehingga $P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$

   Kedua kejadian saling bebas.

   $$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

3. Penyelesaian:

   • Kejadian $A$: lulus matematika, $P(A) = 0{,}85$
   • Kejadian $B$: lulus fisika, $P(B) = 0{,}78$

   Karena kedua mata pelajaran independen:

   $$P(A \cap B) = 0{,}85 \times 0{,}78 = 0{,}663$$

   Jadi probabilitas lulus kedua mata pelajaran adalah $0{,}663$ atau $66{,}3\%$.

4. Penyelesaian:

   Cara 1: Enumerasi Langsung

   Gunakan $0$ untuk sisi angka dan $1$ untuk sisi gambar. Ruang sampel $3$ koin memuat $8$ hasil:

   $$\left\{\begin{gathered} 000, 001, 010, 011, \\ 100, 101, 110, 111 \end{gathered}\right\}$$

   Tepat dua sisi gambar terjadi pada $\{011, 101, 110\}$, sehingga ada $3$ hasil yang diinginkan.

   $$P(\text{tepat 2 gambar}) = \frac{3}{8}$$

   Cara 2: Menggunakan Distribusi Binomial

   Untuk $n = 3$ lemparan dengan probabilitas sukses (gambar) $p = \frac{1}{2}$, probabilitas tepat $k = 2$ sukses adalah:

   $$P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$$

   Substitusi nilai:

   $$P(\text{tepat 2 gambar}) = \binom{3}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1$$

   Penjelasan langkah per langkah:

   • $\binom{3}{2} = 3$ (cara memilih $2$ posisi dari $3$ untuk gambar)
   • $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ (probabilitas $2$ gambar)
   • $\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$ (probabilitas $1$ angka)

   Kalikan ketiga faktor peluang tersebut:

   $$P(\text{tepat 2 gambar}) = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

   Jadi probabilitas mendapatkan tepat dua gambar adalah $\frac{3}{8}$.