Peluang Kejadian Majemuk Saling Lepas

Dua Kejadian yang Tidak Bisa Terjadi Bersamaan

Dalam kehidupan sehari-hari, ada situasi ketika dua kejadian tidak dapat terjadi bersamaan. Misalnya, saat melempar satu koin, kita tidak mungkin mendapatkan angka dan gambar dalam lemparan yang sama. Kejadian seperti ini disebut kejadian saling lepas atau mutually exclusive events.

Kejadian saling lepas adalah dua atau lebih kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan dalam satu percobaan. Jika salah satu kejadian terjadi, maka kejadian lainnya pasti tidak akan terjadi.

Sebagai ilustrasi sederhana, bayangkan kamu mengambil satu kartu dari satu deck. Kartu yang kamu ambil tidak mungkin sekaligus berwarna merah dan berwarna hitam. Kedua kejadian ini saling lepas karena tidak ada kartu yang memiliki kedua warna tersebut.

Cara Kejadian Saling Lepas Berperilaku

Kejadian saling lepas tidak berbagi hasil, sehingga irisannya tidak menyumbang apa pun pada total. Tiga pemeriksaan berikut menjelaskan gagasan itu lewat hasil dan peluang. Setiap pemeriksaan memakai dua kejadian yang sama agar perbedaannya terlihat.

Tidak Ada Irisan

Ciri utama kejadian saling lepas adalah tidak memiliki irisan atau elemen yang sama. Dalam notasi matematika, jika $A$ dan $B$ adalah kejadian saling lepas, maka:

Simbol $\emptyset$ menunjukkan himpunan kosong, artinya tidak ada elemen yang sama antara kedua kejadian.

Hasil yang Tidak Dapat Terjadi Bersamaan

Pasangan kejadian berikut tidak dapat terjadi dalam percobaan yang sama:

• Dalam pelemparan dadu: munculnya angka genap dan munculnya angka ganjil
• Dalam pengambilan kartu: mengambil kartu As dan mengambil kartu King dalam satu pengambilan
• Dalam lomba lari: menempati juara pertama dan menempati juara kedua secara bersamaan

Identifikasi Kejadian Saling Lepas

Untuk mengidentifikasi apakah dua kejadian saling lepas, tanyakan pada diri sendiri: "Bisakah kedua kejadian ini terjadi bersamaan dalam satu percobaan?" Jika jawabannya tidak, maka kedua kejadian tersebut saling lepas.

Rumus Peluang Kejadian Saling Lepas

Rumus penjumlahan umum mengurangi irisan $P(A \cap B)$. Pada kejadian saling lepas, $P(A \cap B)=0$, sehingga suku tersebut hilang:

Rumus ini menunjukkan bahwa peluang terjadinya kejadian $A$ atau kejadian $B$ sama dengan jumlah peluang masing-masing kejadian.

Saling lepas bukan berarti saling bebas. Jika $P(A) > 0$ dan $P(B) > 0$, informasi bahwa $A$ terjadi membuat $B$ mustahil terjadi. Jadi $P(A \cap B) = 0$, sedangkan kejadian saling bebas mensyaratkan $P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0$.

Irisan Nol pada Rumus Penjumlahan

Berbeda dengan kejadian yang tidak saling lepas, pada kejadian saling lepas tidak perlu mengurangi irisan karena $P(A \cap B) = 0$. Oleh karena itu, rumus umum:

Menjadi:

Perhitungan dengan Aturan Penjumlahan

Setiap perhitungan di bawah menjumlahkan peluang dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan. Contohnya mulai dari satu dadu, lalu memperluas aturan penjumlahan ke dua dadu.

Pelemparan Dadu

Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya angka prima atau angka yang lebih besar dari $4$.

Penyelesaian:

Ruang sampel: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

• Kejadian $A$ (angka prima): $A = \{2, 3, 5\}$
• Kejadian $B$ ($\text{angka} > 4$): $B = \{5, 6\}$

Periksa irisan: $A \cap B = \{5\}$

Karena angka $5$ berada pada kedua kejadian, keduanya tidak saling lepas. Pertanyaan awal tetap dapat dijawab, tetapi irisannya harus dikurangkan:

Contoh berikut menunjukkan kapan aturan yang lebih singkat untuk kejadian saling lepas dapat digunakan.

Contoh Pembanding yang Saling Lepas:

• Kejadian $A$ (angka ganjil): $A = \{1, 3, 5\}$
• Kejadian $C$ (angka genap): $C = \{2, 4, 6\}$

Periksa irisan: $A \cap C = \emptyset$

Karena tidak ada irisan, kedua kejadian saling lepas.

Hasil ganjil dan genap bersama-sama mencakup keenam sisi dadu, sehingga peluang gabungannya adalah $1$.

Pelemparan Dua Dadu

Dua dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang mendapatkan jumlah mata dadu $5$ atau jumlah mata dadu $7$.

Penyelesaian:

Tabel berikut memuat seluruh $36$ pasangan hasil dari kedua dadu:

Total kemungkinan adalah $6 \times 6 = 36$

Identifikasi kejadian:

Kejadian $A$ ($\text{jumlah} = 5$):

Dari tabel di atas, pasangan yang menghasilkan jumlah $5$ adalah:

• $(1,4): 1 + 4 = 5$
• $(2,3): 2 + 3 = 5$
• $(3,2): 3 + 2 = 5$
• $(4,1): 4 + 1 = 5$

Jadi ada $4 \text{ cara}$ untuk mendapatkan jumlah $5$.

Kejadian $B$ ($\text{jumlah} = 7$):

Dari tabel di atas, pasangan yang menghasilkan jumlah $7$ adalah:

• $(1,6): 1 + 6 = 7$
• $(2,5): 2 + 5 = 7$
• $(3,4): 3 + 4 = 7$
• $(4,3): 4 + 3 = 7$
• $(5,2): 5 + 2 = 7$
• $(6,1): 6 + 1 = 7$

Jadi ada $6 \text{ cara}$ untuk mendapatkan jumlah $7$.

Periksa irisan: Tidak mungkin jumlah dadu sekaligus $5$ dan $7$, sehingga $A \cap B = \emptyset$

Kedua kejadian saling lepas.

Penyelesaian penjumlahan pecahan:

Untuk menjumlahkan $\frac{1}{9} + \frac{1}{6}$, kita memerlukan kelipatan persekutuan terkecil dari $9$ dan $6$.

$\operatorname{lcm}(9, 6) = 18$, sehingga:

Cara Mengerjakan Soal Kejadian Saling Lepas

Sebelum menjumlahkan dua peluang, periksa apakah kedua kejadian berbagi hasil. Langkah di bawah menempatkan pemeriksaan itu lebih dulu, lalu memastikan hasilnya. Menjumlahkan tanpa pemeriksaan itu membuat hasil bersama terhitung dua kali.

Periksa Irisan Sebelum Menjumlahkan

Untuk menyelesaikan soal peluang kejadian saling lepas, ikuti langkah berikut:

1. Identifikasi ruang sampel dan tentukan total kemungkinan hasil
2. Definisikan kejadian yang dimaksud dalam soal dengan jelas
3. Periksa irisan antara kejadian untuk memastikan saling lepas
4. Hitung peluang masing-masing kejadian secara terpisah
5. Terapkan rumus $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Pemeriksaan Hasil Akhir

Periksa tiga hal sebelum menerima hasil:

• Gambarkan himpunan kejadian dengan diagram atau tabel jika irisannya belum jelas.
• Pastikan peluang akhir berada di antara $0$ dan $1$.
• Baca kata "atau" sebagai gabungan, kecuali soal menyatakan hal lain.

Kejadian dengan Irisan Tidak Kosong

Dua kejadian tidak saling lepas jika irisannya memuat setidaknya satu hasil. Contoh berikut memiliki irisan yang tidak kosong:

Contoh 1: Pelemparan Dadu

• Kejadian $A$: Munculnya angka prima adalah $\{2, 3, 5\}$
• Kejadian $B$: Munculnya angka ganjil adalah $\{1, 3, 5\}$

Kesalahan umum: "Prima dan ganjil berbeda, jadi saling lepas" Kenyataan: $A \cap B = \{3, 5\} \ne \emptyset$, jadi tidak saling lepas

Contoh 2: Pengambilan Kartu

• Kejadian $A$: Mengambil kartu merah
• Kejadian $B$: Mengambil kartu As

Kesalahan umum: "Warna dan jenis kartu berbeda, jadi saling lepas" Kenyataan: Ada As merah (As hati dan As wajik), jadi tidak saling lepas

Contoh 3: Dua Kriteria Siswa

• Kejadian $A$: Siswa yang tinggi ($>160 \text{ cm}$)
• Kejadian $B$: Siswa dengan nilai di atas $80$

Kesalahan umum: “Tinggi badan dan nilai ujian adalah ciri yang berbeda, jadi kejadiannya saling lepas” Kenyataan: Seorang siswa dapat memenuhi kedua kriteria, jadi kejadiannya tidak saling lepas

Strategi Mengidentifikasi:

1. Tanyakan: "Bisakah satu elemen memenuhi kedua kriteria sekaligus?"
2. Cari irisan: Identifikasi elemen yang masuk ke kedua kejadian
3. Jika ada irisan: Kejadian tidak saling lepas
4. Jika tidak ada irisan: Kejadian saling lepas

Latihan

Coba kerjakan setiap latihan sebelum membaca pembahasannya. Tulis kedua himpunan secara eksplisit dan periksa irisannya sebelum memilih aturan penjumlahan.

1. Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya angka kurang dari $3$ atau angka lebih dari $5$.

2. Dari sekotak kartu bridge standar, satu kartu diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya kartu As atau kartu King.

3. Dua koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang mendapatkan tepat $1$ gambar atau tepat $2$ angka.

4. Dalam sebuah kotak terdapat $10 \text{ bola}$ bernomor $1$ sampai $10$. Sebuah bola diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya bola bernomor genap atau bola bernomor prima ganjil.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Ruang sampel: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, sehingga $n(S) = 6$

   • Kejadian $A$ ($\text{angka} < 3$): $A = \{1, 2\}$, sehingga $n(A) = 2$
   • Kejadian $B$ ($\text{angka} > 5$): $B = \{6\}$, sehingga $n(B) = 1$

   Periksa irisan: $A \cap B = \emptyset$ (tidak ada angka yang sekaligus memenuhi $x < 3$ dan $x > 5$)

   Karena saling lepas, gunakan rumus:

   $$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

   $$P(B) = \frac{1}{6}$$

   $$\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

2. Penyelesaian:

   Total kartu adalah $52$

   • Kejadian $A$ (kartu As): $4 \text{ kartu As}$
   • Kejadian $B$ (kartu King): $4 \text{ kartu King}$

   Periksa irisan: Tidak ada kartu yang sekaligus As dan King, sehingga $A \cap B = \emptyset$

   Kedua kejadian saling lepas.

   $$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \\ &= \frac{2}{13} \end{aligned}$$

3. Penyelesaian:

   Gunakan $0$ untuk sisi angka dan $1$ untuk sisi gambar. Ruang sampelnya $\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$, dengan $4$ hasil.

   • Kejadian $A$ (tepat satu gambar): $\{(0,1), (1,0)\}$, sehingga $n(A) = 2$
   • Kejadian $B$ (tepat dua angka): $\{(0,0)\}$, sehingga $n(B) = 1$

   Periksa irisan: $A \cap B = \emptyset$ (tidak mungkin tepat satu gambar dan tepat dua angka bersamaan)

   $$P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

   $$P(B) = \frac{1}{4}$$

   $$\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{2}{4} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}$$

4. Penyelesaian:

   Prima ganjil adalah bilangan prima yang sekaligus ganjil. Bilangan prima dari $1\text{-}10$ adalah $\{2, 3, 5, 7\}$, sehingga prima ganjil adalah $\{3, 5, 7\}$.

   Ruang sampel: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, sehingga $n(S) = 10$

   • Kejadian $A$ (nomor genap): $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$, sehingga $n(A) = 5$
   • Kejadian $B$ (nomor prima ganjil): $B = \{3, 5, 7\}$, sehingga $n(B) = 3$

   Periksa irisan: $A \cap B = \emptyset$ (tidak ada nomor yang sekaligus genap dan prima ganjil)

   $$P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

   $$P(B) = \frac{3}{10}$$

   $$\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= \frac{1}{2} + \frac{3}{10} \end{aligned}$$

   Penyelesaian penjumlahan pecahan:

   Untuk menjumlahkan $\frac{1}{2} + \frac{3}{10}$, kita perlu menyamakan penyebut.

   $\operatorname{lcm}(2, 10) = 10$, sehingga:

   $$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$$

   $$P(A \cup B) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$