Permutasi dengan Objek Identik

Mengapa objek identik mengubah hasil hitung

Permutasi dengan objek identik menghitung susunan ketika beberapa objek tidak dapat dibedakan satu sama lain. Hasilnya lebih sedikit daripada permutasi biasa karena menukar objek yang identik tidak menghasilkan susunan baru.

Perhatikan huruf-huruf dalam kata "MAMA". Ada $4$ huruf, tetapi kedua huruf $M$ tidak dapat dibedakan, begitu pula kedua huruf $A$. Jika setiap salinan diberi label sementara, pertukaran label akan terhitung sebagai permutasi lain meskipun kata yang terlihat tetap sama.

Rumus Permutasi Objek Identik

Untuk $n$ objek yang terbagi menjadi beberapa kelompok objek identik, banyak susunan berbeda adalah:

Setiap simbol pada rumus memiliki arti berikut:

• $n$ = jumlah total objek
• $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_k$ = banyaknya objek yang sama pada setiap kelompok
• $k$ = banyaknya kelompok objek yang identik
• Seluruh frekuensi mencakup semua objek, sehingga $r_1 + r_2 + \cdots + r_k = n$

Hitung frekuensi setiap objek yang berbeda. Pembagian dengan setiap $r_i!$ menghapus hitungan berulang akibat pertukaran objek identik dalam kelompok tersebut.

Penerapan pada Kata dan Huruf

Pembagian yang sama berlaku untuk kata, karena huruf yang berulang menciptakan salinan identik. Contoh di bawah menghitung huruf KALIMANTAN lalu membaginya dengan kelompok huruf yang berulang.

Contoh Kata KALIMANTAN

Hitung berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "KALIMANTAN".

Tulis huruf secara berurutan: K-A-L-I-M-A-N-T-A-N

Total huruf: $10$

Huruf yang berulang adalah $A$ sebanyak $3 \text{ kali}$ dan $N$ sebanyak $2 \text{ kali}$. Huruf lainnya hanya muncul sekali.

Perhitungan:

Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

Kalikan faktor yang masih tersisa:

• Bagi $10$ dengan $2$: $\frac{10}{2} = 5$
• Hasil perkalian yang tersisa adalah $5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 302\,400$

Contoh Kata PALAPA

Untuk kata "PALAPA" dengan $6$ huruf: Tulis huruf secara berurutan: P-A-L-A-P-A

Identifikasi huruf: $P$ muncul $2 \text{ kali}$ (posisi $1, 5$), $A$ muncul $3 \text{ kali}$ (posisi $2, 4, 6$), dan $L$ muncul $1 \text{ kali}$

Hitung setiap faktorial:

• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $2! = 2 \times 1 = 2$
• $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Substitusikan setiap faktorial ke rumus permutasi:

Sederhanakan dengan membagi $6$ dengan $2$:

• $\frac{6}{2} = 3$
• Jadi: $3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ susunan}$

Menghitung Susunan dengan Objek Sama

Gunakan cara yang sama untuk susunan lain yang memuat objek berulang:

1. Hitung total objek: Tentukan nilai $n$
2. Identifikasi objek sama: Kelompokkan objek yang identik
3. Hitung frekuensi: Tentukan berapa kali setiap objek muncul
4. Terapkan rumus: Masukkan ke dalam rumus permutasi
5. Hitung faktorial: Selesaikan perhitungan dengan teliti

Susunan Kata BANANA

Terapkan cara tersebut pada kata "BANANA":

1. Hitung total objek

   Tulis huruf satu per satu: B-A-N-A-N-A

   Total huruf: $n = 6$

2. Identifikasi objek sama

   Kelompokkan huruf yang identik:

   • Kelompok B: B
   • Kelompok A: A, A, A
   • Kelompok N: N, N

3. Hitung frekuensi

   Hitung berapa kali setiap huruf muncul:

   • $B$ muncul $1 \text{ kali}$
   • $A$ muncul $3 \text{ kali}$
   • $N$ muncul $2 \text{ kali}$

4. Terapkan rumus

   Gunakan rumus permutasi dengan objek yang sama:

   $$P = \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times r_3!}$$

   $$P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}$$

5. Hitung faktorial

   Sederhanakan pecahan terlebih dahulu:

   $$P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{1! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Bagi $6$ dengan $2$: $\frac{6}{2} = 3$
   • Jadi: $3 \times 5 \times 4 = 60$

Jadi, kata "BANANA" dapat disusun dalam $60$ cara berbeda.

Perbedaan dengan Permutasi Biasa

Permutasi biasa: Semua objek berbeda, menggunakan rumus $n!$

Permutasi dengan objek sama: Ada objek identik, menggunakan rumus:

Contoh perbandingan:

Menyusun huruf A, B, C, D (semua berbeda): $4! = 24 \text{ cara}$

Menyusun huruf $A, A, B, C$ (ada yang sama):

Objek yang sama mengurangi jumlah susunan karena pertukaran objek identik tidak menghasilkan perbedaan.

Latihan

Setiap soal menyusun kumpulan dengan anggota berulang, sehingga huruf, warna, atau angka yang sama harus dibagi keluar. Hitung dulu seluruh susunan, lalu bagi dengan faktorial setiap kelompok berulang.

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA"?

2. Sebuah toko bunga menyusun $8$ mawar dalam satu barisan. Hanya warnanya yang dibedakan: $3$ merah, $3$ putih, dan $2$ kuning. Berapa banyak susunan warna yang mungkin?

3. Dari angka $1, 1, 2, 2, 2, 3$, berapa banyak bilangan $6$ digit yang dapat dibentuk?

4. Kata "INDONESIA" memiliki berapa banyak susunan huruf yang berbeda?

Kunci Jawaban

1. Kata "MATEMATIKA" memiliki $10$ huruf

   Huruf satu per satu: M-A-T-E-M-A-T-I-K-A

   Identifikasi huruf: $M$ muncul $2 \text{ kali}$ (posisi $1, 5$), $A$ muncul $3 \text{ kali}$ (posisi $2, 6, 10$), $T$ muncul $2 \text{ kali}$ (posisi $3, 7$), $E$ muncul $1 \text{ kali}$, $I$ muncul $1 \text{ kali}$, dan $K$ muncul $1 \text{ kali}$

   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

   $$P = \frac{10!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!}$$

   $$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2! \times 2!}$$

   $$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{4}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Perhitungan lengkap: $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 604\,800$
   • Bagi dengan $4$: $\frac{604\,800}{4} = 151\,200 \text{ susunan}$

2. Ada $8$ posisi warna: merah muncul $3$ kali, putih muncul $3$ kali, dan kuning muncul $2$ kali.

   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

   $$P = \frac{8!}{3! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{3! \times 2!}$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 2}$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{12}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Bagi $6$ dengan $12$: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
   • Jadi: $8 \times 7 \times \frac{1}{2} \times 5 \times 4$
   • $= 4 \times 7 \times 5 \times 4 = 560 \text{ cara}$

3. Angka $1, 1, 2, 2, 2, 3$ (total $6$ digit)

   Identifikasi angka: angka $1$ muncul $2 \text{ kali}$, angka $2$ muncul $3 \text{ kali}$, angka $3$ muncul $1 \text{ kali}$

   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

   $$P = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Bagi $6$ dengan $2$: $\frac{6}{2} = 3$
   • Jadi: $3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ bilangan}$

4. Kata "INDONESIA" memiliki $9$ huruf

   Huruf satu per satu: I-N-D-O-N-E-S-I-A

   Identifikasi huruf: $I$ muncul $2 \text{ kali}$ (posisi $1, 8$), $N$ muncul $2 \text{ kali}$ (posisi $2, 5$), $D$ muncul $1 \text{ kali}$, $O$ muncul $1 \text{ kali}$, $E$ muncul $1 \text{ kali}$, $S$ muncul $1 \text{ kali}$, dan $A$ muncul $1 \text{ kali}$

   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

   $$P = \frac{9!}{2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!}$$

   $$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2! \times 2!}$$

   $$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2!}$$

   $$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Bagi dengan $2$: $\frac{8}{2} = 4$
   • Jadi: $9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$
   • $= 9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 90\,720 \text{ susunan}$