Limit Fungsi Aljabar

Bentuk Fungsi Menentukan Cara Menghitung Limit

Pada limit fungsi aljabar, bentuk ekspresi menentukan operasi yang dapat dibenarkan. Polinomial dapat dinilai dengan substitusi langsung. Sebaliknya, ekspresi rasional atau bentuk akar mungkin memuat faktor yang dapat disederhanakan, batas daerah asal, atau asimtot tegak yang harus dianalisis terlebih dahulu.

Fungsi aljabar dibangun dari operasi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pangkat bereksponen rasional. Contohnya adalah polinomial $f(x) = x^2 + 3x - 2$ dan fungsi rasional $g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$. Kita akan memakai substitusi sebagai langkah diagnosis, lalu memfaktorkan, merasionalkan, atau memeriksa perilaku satu sisi jika substitusi belum menentukan limit.

Sifat Limit Aljabar

Limit fungsi aljabar dapat dipecah menjadi limit suku-suku yang lebih sederhana. Sifat yang sama dipakai berulang, sehingga kamu menghitung setiap suku sendiri-sendiri dalam beberapa langkah kecil.

Limit Fungsi Polinomial

Fungsi polinomial kontinu di semua titik. Karena itu, limitnya dapat dihitung dengan substitusi langsung.

Misalkan $f(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 - 7$, maka:

Karena fungsi polinomial kontinu di semua titik, lakukan substitusi langsung:

Limit Fungsi Rasional

Fungsi rasional memiliki bentuk $\frac{P(x)}{Q(x)}$, dengan $P(x)$ dan $Q(x)$ berupa polinomial. Substitusi langsung menunjukkan metode yang perlu dicoba berikutnya:

• Jika penyebut tidak nol: Gunakan substitusi langsung seperti fungsi polinomial.

• Jika penyebut nol: Periksa pembilang, tanda, dan perilaku satu sisi. Hanya $\frac{0}{0}$ yang merupakan bentuk tak tentu dan mungkin dapat diselesaikan dengan penyederhanaan aljabar. Pembilang tak nol dibagi nol bukan bentuk tak tentu.

Mengatasi Bentuk Tak Tentu

Ketika substitusi langsung menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan teknik khusus. Pemfaktoran dan rasionalisasi mengubah bentuknya sampai faktor penyebab nol pada penyebut dapat dicoret, dan setelah itu substitusi kembali dapat dipakai.

Teknik Pemfaktoran

Faktorkan pembilang dan penyebut, lalu coret faktor yang sama jika faktor tersebut tidak bernilai nol di sekitar titik limit.

Contoh: Hitung $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Substitusi langsung memberikan $\frac{0}{0}$. Faktorkan:

Karena $x$ mendekati $2$ (bukan sama dengan $2$), kita dapat membatalkan faktor $(x - 2)$:

Teknik Rasionalisasi

Untuk limit yang melibatkan bentuk akar, sering kali kita perlu merasionalkan. Substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu.

Contoh: Hitung $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$

Substitusi langsung:

Kita rasionalkan dengan mengalikan dengan bentuk sekawan $\sqrt{x} + 1$. Tujuannya adalah menghilangkan bentuk akar di pembilang menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

Karena $x \neq 1$ (mendekati $1$), kita dapat membatalkan $(x - 1)$:

Penerapan Sifat Limit pada Fungsi Aljabar

Sifat-sifat limit dapat diterapkan satu demi satu sampai substitusi langsung menghasilkan nilai yang terdefinisi. Setiap langkah memakai satu sifat, dan bentuknya menjadi lebih sederhana pada setiap tahap.

Memfaktorkan Pembilang dan Penyebut

Contoh: Hitung $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 2x - 15}$

Substitusi langsung:

Substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\frac00$: pembilang dan penyebut sama-sama nol.

Faktorkan keduanya. Untuk $x^2 + 2x - 15$, kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya $-15$ dan jika dijumlahkan hasilnya $2$. Bilangan tersebut adalah $5$ dan $-3$.

Sehingga:

Substitusi $x = 3$: $\frac{3 + 3}{3 + 5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Jika substitusi langsung menghasilkan $\frac{a}{0}$ dengan $a \neq 0$, hasil itu saja belum cukup. Periksa tanda dan kedua limit satu sisi. Sebagai contoh:

Karena kedua limit satu sisi berbeda, $\lim_{x \to 2}\frac{1}{x-2}$ tidak ada sebagai limit dua sisi. Sebaliknya, jika substitusi menghasilkan $\frac{0}{0}$, faktorkan, rasionalkan, atau sederhanakan bentuknya terlebih dahulu.

Kontinuitas dan Limit

Suatu fungsi $f$ dikatakan kontinu di $x = c$ jika:

1. $f(c)$ ada (terdefinisi)
2. $\lim_{x \to c} f(x)$ ada
3. $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$

Fungsi polinomial kontinu pada setiap bilangan real. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya, yaitu ketika penyebutnya tidak nol.

Latihan

Setiap soal meminta limit suatu bentuk aljabar. Tentukan bentuknya lebih dulu, karena hasil nol per nol memerlukan pemfaktoran atau perkalian dengan bentuk sekawan.

1. Hitung $\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7)$

2. Hitung $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28}$

3. Hitung $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$

4. Tentukan apakah fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$ kontinu di $x = 1$

5. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Karena ini adalah fungsi polinomial yang kontinu di semua titik, kita dapat substitusi langsung:

   $$\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7) \\ &= 2^4 - 5(2^3) + 2^2 - 7 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &= 16 - 5(8) + 4 - 7 \\ &= 16 - 40 + 4 - 7 \\ &= -27 \end{aligned}$$

2. Penyelesaian:

   Karena ini fungsi rasional dengan penyebut tidak nol di $x = 2$, gunakan substitusi langsung:

   $$\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28} \\ &= \frac{2^2 - 6(2) + 8}{2^2 + 16(2) + 28} \end{aligned}$$

   $$= \frac{4 - 12 + 8}{4 + 32 + 28} = \frac{0}{64} = 0$$

3. Penyelesaian:

   Substitusi langsung memberikan $\frac{0}{0}$. Mari faktorkan pembilang:

   $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{x - 1} &= \lim_{x \to 1} (x - 1) \\ &= 1 - 1 \\ &= 0 \end{aligned}$$

4. Penyelesaian:

   Untuk memeriksa kontinuitas di $x = 1$, periksa tiga syarat:

   • Syarat 1 (fungsi terdefinisi): $f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ ✓ (ada)

   • Syarat 2 (limit ada): Karena fungsi polinomial, $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$ ✓ (ada)

   • Syarat 3 (limit sama dengan nilai fungsi): $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$ ✓ (sama)

   Karena ketiga syarat kontinuitas terpenuhi, fungsi kontinu di $x = 1$.

5. Penyelesaian:

   Substitusi langsung: $\frac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu).

   Gunakan rasionalisasi dengan mengalikan bentuk sekawan $\sqrt{x + 4} + 2$:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2}$$

   $$\begin{aligned} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4})^2 - 2^2}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &= \frac{1}{\sqrt{0 + 4} + 2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4} + 2} \\ &= \frac{1}{2 + 2} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$