Bayangkan kamu sedang mengendarai mobil menuju suatu tempat. Semakin dekat kamu dengan tujuan, semakin jelas kamu dapat melihat detailnya. Dalam matematika, limit fungsi aljabar bekerja dengan cara serupa. Limit menunjukkan nilai yang didekati oleh fungsi aljabar ketika variabel inputnya mendekati nilai tertentu.
Fungsi aljabar adalah fungsi yang terbentuk dari kombinasi operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan dengan pangkat rasional. Contohnya adalah fungsi polinomial seperti f(x)=x2+3x−2 dan fungsi rasional seperti .
Untuk limit yang melibatkan bentuk akar, sering kali kita perlu merasionalkan. Substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu.
Contoh: Hitung limx→1x−1x−1
Substitusi langsung:
1−11−1=01−1=00 (bentuk tak tentu)
Kita rasionalkan dengan mengalikan dengan bentuk sekawanx+1. Tujuannya adalah menghilangkan bentuk akar di pembilang menggunakan rumus (a−b)(a+b)=a2−b2:
Mari kita faktorkan keduanya. Untuk x2+2x−15, kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya −15 dan jika dijumlahkan hasilnya 2. Bilangan tersebut adalah 5 dan −3.
x2−9=(x−3)(x+3)
x2+2x−15=x2+5x−3x−15=x(x+5)−3(x+5)=(x−3)(x+5)
Sehingga:
x→3lim(x−3)(x+5)(x−3)(x+3)=x→3limx+5x+3
Substitusi x=3: 3+53+3=86=43
Jika pembilang bukan nol dan penyebut nol (seperti 0a dengan a=0), limit menuju tak hingga. Jika pembilang dan penyebut keduanya nol (bentuk 00), gunakan teknik pemfaktoran atau rasionalisasi.
