Sifat Limit Fungsi

Syarat Berlakunya Aturan Operasi Limit

Sifat limit menghitung limit penjumlahan, selisih, hasil kali, atau hasil bagi dari limit setiap suku. Pastikan limit setiap suku ada. Khusus pada hasil bagi, limit penyebut juga harus tidak nol.

Sifat Dasar Limit

Dua aturan mencakup kasus paling sederhana, yaitu limit fungsi konstanta dan limit fungsi identitas. Keduanya dibaca langsung dari grafiknya, dan setiap aturan lain dibangun di atas keduanya.

Sifat Konstanta

Sifat paling sederhana adalah limit dari fungsi konstanta. Jika $k$ adalah konstanta, maka:

\lim_{x \to c} k = k

Nilai konstanta tidak berubah ketika $x$ mendekati $c$ , sehingga limitnya tetap konstanta tersebut.

Sifat Identitas

Untuk fungsi identitas, berlaku:

\lim_{x \to c} x = c

Ketika $x$ mendekati $c$ , nilai fungsi $f(x) = x$ juga mendekati $c$ .

Sifat Operasi Aritmatika

Misalkan $\lim_{x \to c} f(x) = L$ dan $\lim_{x \to c} g(x) = M$ dengan dan adalah bilangan real. Sifat-sifat itu memindahkan limit melalui penjumlahan, perkalian, faktor konstanta, dan pembagian, asalkan penyebutnya tidak menuju nol dan limit kedua fungsinya ada.

Sifat Penjumlahan dan Pengurangan

Limit dari jumlah atau selisih dua fungsi sama dengan jumlah atau selisih limit masing-masing fungsi:

\begin{aligned} &\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] \\ &= \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x) \\ &= L + M \end{aligned}

Sifat limit dapat memecah limit gabungan menjadi beberapa limit yang lebih sederhana dan dapat dihitung secara terpisah.

Sifat Perkalian

Limit dari hasil kali dua fungsi sama dengan hasil kali limit masing-masing fungsi:

\begin{aligned} &\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] \\ &= \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x) \\ &= L \cdot M \end{aligned}

Sifat Perkalian dengan Konstanta

Konstanta dapat dikeluarkan dari tanda limit:

\lim_{x \to c} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to c} f(x) = k \cdot L

Sifat Pembagian

Limit dari hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit masing-masing fungsi, dengan syarat limit penyebut tidak nol:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)} = \frac{L}{M}

Aturan pembagian ini berlaku jika $M \neq 0$ .

Sifat Perpangkatan dan Akar

Pangkat atau akar dapat melewati limit selama hasilnya tetap di dalam domain. Syarat domain itulah yang membuat akarnya terdefinisi, sehingga nilai negatif di bawah akar berpangkat genap membuat aturan ini tidak berlaku.

Sifat Perpangkatan

Limit dari fungsi berpangkat sama dengan pangkat dari limit fungsi:

\lim_{x \to c} [f(x)]^n = \left[\lim_{x \to c} f(x)\right]^n = L^n

Pada aturan ini, $n$ adalah bilangan bulat positif.

Sifat Akar

Limit dari akar fungsi sama dengan akar dari limit fungsi:

\lim_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c} f(x)} = \sqrt[n]{L}

Syarat domain: Fungsi akar harus terdefinisi untuk input di sekitar titik yang didekati.

Jika $n$ ganjil: akar real terdefinisi untuk setiap nilai real $L$
Jika $n$ genap: fungsi di dalam akar harus tetap tak negatif di sekitar titik tersebut dan $L \geq 0$

Contoh Penerapan Sifat Limit

Setiap contoh menerapkan satu sifat dan menyebutkannya, sehingga kamu dapat memakai urutan yang sama pada bentuk serupa. Contoh terakhir menunjukkan apa yang berubah ketika ada bentuk akar.

Limit Fungsi Polinomial

Hitung $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1)$ .

Penyelesaian:

Menggunakan sifat-sifat limit:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1) \\ &= \lim_{x \to 2} 3x^2 \\ &\quad{}+ \lim_{x \to 2} 5x - \lim_{x \to 2} 1 \end{aligned}

Limit Fungsi Rasional

Hitung $\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3}$ .

Penyelesaian:

Menggunakan sifat pembagian dan perkalian:

\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3} = \frac{\lim_{x \to 4} x\sqrt{x}}{\lim_{x \to 4} (x^2 + 3)}

Sekarang kita substitusi nilai $x = 4$ :

= \frac{4 \cdot \sqrt{4}}{4^2 + 3} = \frac{4 \cdot 2}{16 + 3} = \frac{8}{19}

Dalam bentuk desimal: $\frac{8}{19} \approx 0{,}421$

Limit Fungsi Akar

Hitung $\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ .

Penyelesaian:

Menggunakan sifat akar (karena $n = 2$ genap, kita perlu memastikan hasil di dalam akar tidak negatif):

\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2} \\ &= \sqrt{\lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 2)} \end{aligned}

Hitung limit di dalam akar terlebih dahulu:

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 2) &= 0^2 - 3(0) + 2 \\ &= 0 - 0 + 2 \\ &= 2 \end{aligned}

Karena $2 > 0$ , kita dapat menggunakan sifat akar:

= \sqrt{2} \approx 1{,}414

Latihan

Setiap soal meminta limit yang memakai satu atau beberapa sifat limit. Tuliskan sifat yang dipakai pada setiap langkah, lalu periksa hasilnya dengan substitusi langsung setelah bentuknya disederhanakan.

Hitung $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1)$
Hitung $\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1}$

Pembahasan

Penyelesaian:

Menggunakan sifat penjumlahan dan perkalian dengan konstanta:
$\begin{aligned} &\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1) \\ &= 2\lim_{x \to 3} x^2 \\ &\quad{}- 4\lim_{x \to 3} x + \lim_{x \to 3} 1 \end{aligned}$