Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pengertian Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran dengan titik sudut berada di pusat lingkaran. Kaki-kaki sudut pusat adalah jari-jari lingkaran yang menghubungkan pusat dengan titik-titik pada lingkaran.

Pada diagram di atas:

• Titik $O$ adalah pusat lingkaran
• $OA$ dan $OB$ adalah jari-jari lingkaran
• $\angle AOB$ adalah sudut pusat
• Besar sudut pusat dilambangkan dengan $\alpha$

Pengertian Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur dengan titik sudut berada pada lingkaran. Kaki-kaki sudut keliling adalah tali busur yang menghubungkan titik sudut dengan dua titik lain pada lingkaran.

Pada diagram di atas:

• Titik $C$ berada pada lingkaran
• $CA$ dan $CB$ adalah tali busur
• $\angle ACB$ adalah sudut keliling
• Titik $O$ adalah pusat lingkaran

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika keduanya menghadap busur yang sama, besar sudut pusat selalu dua kali besar sudut keliling. Diagram berikut menunjukkan hubungan tersebut.

Teorema Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka:

• $\text{Besar sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{besar sudut pusat}$
• $\text{Besar sudut pusat} = 2 \times \text{besar sudut keliling}$

Pembuktian Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Tarik diameter melalui $C$ dan pusat $O$. Dua segitiga sama kaki yang terbentuk menghubungkan besar sudut keliling dengan sudut pusat.

Langkah pembuktian:

1. Buat garis $CD$ yang melalui titik $O$ (pusat lingkaran)
2. Perhatikan bahwa $OA = OB = OC = OD$ (jari-jari lingkaran)
3. Segitiga $AOC$ dan $BOC$ adalah segitiga sama kaki
4. Misalkan $\angle ACO = x$ dan $\angle BCO = y$
5. Karena segitiga sama kaki: $\angle CAO = x$ dan $\angle CBO = y$
6. Sudut luar segitiga: $\angle AOD = 2x$ dan $\angle BOD = 2y$
7. Maka: $\angle AOB = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \times \angle ACB$

Konstruksi ini membuktikan susunan pada diagram, yaitu titik $C$ berada pada busur yang berseberangan dengan $AB$. Susunan lain dapat dipecah menjadi kasus segitiga sama kaki yang sama. Pada setiap kasus, sudut pusat dan sudut keliling yang dibandingkan harus menghadap busur yang sama.

Sifat Sudut Pusat dan Sudut Keliling

1. Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

   Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya $90^\circ$ (sudut siku-siku).

   Sudut Keliling Menghadap Diameter

   Sudut keliling yang menghadap diameter selalu $90^\circ$.

   KisiRotasi otomatis

2. Sudut-sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

   $\angle ACB = \angle ADB$, kedua sudut menghadap busur $AB$ yang sama. Dengan kata lain, menggeser $C$ ke $D$ di sepanjang busur yang sama tidak mengubah besar sudutnya.

   Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama

   Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama.

   KisiRotasi otomatis

Menghitung Sudut Keliling

Diketahui sudut pusat $\angle AOB = 80^\circ$. Tentukan besar sudut keliling $\angle ACB$ yang menghadap busur yang sama!

Penyelesaian:

Menghitung Sudut Pusat

Diketahui sudut keliling $\angle ACB = 35^\circ$. Tentukan besar sudut pusat $\angle AOB$ yang menghadap busur yang sama!

Penyelesaian:

Latihan Soal

Setiap soal memberi sudut pusat atau sudut keliling dan meminta sudut yang lain. Keduanya menghadap busur yang sama.

1. Jika sudut pusat suatu lingkaran adalah $120^\circ$, berapakah besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama?

2. Sudut keliling $\angle ACB = 45^\circ$. Tentukan besar sudut pusat $\angle AOB$ yang menghadap busur yang sama.

3. Pada suatu lingkaran, sudut keliling $\angle PQR$ menghadap diameter. Berapakah besar $\angle PQR$?

4. Dua sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut besarnya $25^\circ$, tentukan besar sudut yang lain!

Pembahasan

1. Sudut keliling menghadap busur yang sama dengan sudut pusat, sehingga besarnya setengah dari sudut pusat: $\frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

2. Sudut pusat dan $\angle ACB$ sama-sama menghadap busur $AB$. Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling:

   $$\angle AOB=2\angle ACB=2(45^\circ)=90^\circ$$

3. Diameter membentuk setengah lingkaran dengan sudut pusat $180^\circ$. Sudut keliling besarnya setengah dari sudut tersebut, sehingga $\angle PQR = 90^\circ$.

4. Dua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama. Jadi, sudut yang lain juga $25^\circ$.