Determinan Matriks

Hubungan Determinan dengan Invers Matriks

Determinan memetakan setiap matriks persegi ke satu nilai skalar. Nilai ini, antara lain, menunjukkan apakah matriks tersebut memiliki invers dan apakah suatu sistem persamaan linear memiliki solusi tunggal.

Menghitung Determinan Matriks Ordo Dua

Matriks ordo $2 \times 2$ adalah matriks yang memiliki dua baris dan dua kolom. Misalkan kita memiliki matriks $A$ sebagai berikut:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinan matriks $A$ , yang biasa ditulis sebagai $\det(A)$ atau $|A|$ , adalah hasil kali pada diagonal utama dikurangi hasil kali pada diagonal lainnya.

Rumusnya adalah:

\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Garis tegak pada rumus di atas menyatakan determinan $\det(A)$ . Kurung siku pada $A$ mengapit elemen matriksnya.

Perhitungan Determinan Matriks Ordo Dua

Misalkan kita memiliki matriks $B$ :

B = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -7 & -5 \end{bmatrix}

Untuk menghitung determinannya, kita identifikasi $a = -1$ , $b = 3$ , $c = -7$ , dan $d = -5$ .

Maka, determinan matriks $B$ adalah:

\det(B) = (-1 \times -5) - (3 \times -7)

Jadi, nilai determinan dari matriks $B$ adalah $26$ .

Menyelesaikan SPLDV dengan Determinan

Aturan Cramer memakai determinan untuk mencari nilai variabel dalam sistem persamaan linear.

Perhatikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) berikut:

a_{11}x + a_{12}y = b_1

Dalam sistem ini, $x$ dan $y$ adalah variabel yang ingin kita cari nilainya. Koefisien-koefisien $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ dan konstanta $b_1, b_2$ adalah bilangan yang diketahui.

Sistem persamaan ini dapat kita ubah ke dalam bentuk perkalian matriks:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}

Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks koefisien, yang kita sebut $D$ :

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

Sistem persamaan linear akan memiliki solusi unik jika dan hanya jika $D \neq 0$ .

Selanjutnya, kita hitung dua determinan lainnya:

$D_x$ , yaitu determinan matriks koefisien yang kolom pertama (koefisien $x$ ) diganti dengan kolom konstanta ( $b_1, b_2$ ):

$D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = b_1a_{22} - a_{12}b_2$
$D_y$ , yaitu determinan matriks koefisien yang kolom kedua (koefisien $y$ ) diganti dengan kolom konstanta ( $b_1, b_2$ ):

$D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} = a_{11}b_2 - b_1a_{21}$

Setelah mendapatkan nilai $D$ , $D_x$ , dan $D_y$ , kita dapat menemukan nilai $x$ dan $y$ dengan rumus:

x = \frac{D_x}{D}

Rumus ini hanya berlaku jika $D \neq 0$ .

Jika $D=0$ , pecahan pada aturan Cramer tidak terdefinisi. Nilai tersebut belum membedakan antara sistem tanpa solusi dan sistem dengan tak hingga banyak solusi, sehingga sistem harus diperiksa dengan eliminasi atau reduksi baris.

Penyelesaian SPLDV dengan Determinan

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

2x - y = 7

Dari sistem di atas, kita dapatkan:

$a_{11} = 2$ , $a_{12} = -1$ , $b_1 = 7$

$a_{21} = 1$ , $a_{22} = -4$ , $b_2 = 14$

Langkah 1: Hitung determinan $D$ .

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} \\ &= (2 \times -4) - (-1 \times 1) \\ &= -8 - (-1) \\ &= -8 + 1 \\ &= -7 \end{aligned}

Karena $D = -7 \neq 0$ , sistem ini memiliki solusi unik.

Langkah 2: Hitung determinan $D_x$ .

\begin{aligned} D_x &= \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 14 & -4 \end{vmatrix} \\ &= (7 \times -4) - (-1 \times 14) \\ &= -28 - (-14) \\ &= -28 + 14 \\ &= -14 \end{aligned}

Langkah 3: Hitung determinan $D_y$ .

\begin{aligned} D_y &= \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 14 \end{vmatrix} \\ &= (2 \times 14) - (7 \times 1) \\ &= 28 - 7 \\ &= 21 \end{aligned}

Langkah 4: Hitung nilai $x$ dan $y$ .

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-7} = 2

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x=2$ dan $y=-3$ , atau dapat ditulis sebagai pasangan berurutan $(2, -3)$ .

Latihan

Setiap soal di bawah memakai determinan untuk tujuan yang berbeda. Soal pertama meminta satu entri yang belum diketahui pada matriks dengan determinan tertentu, soal kedua meminta penyelesaian sebuah sistem persamaan linear.

Matriks berikut memenuhi $\det(M) = 9$ . Tentukan nilai $x$ .

$M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}$
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

$\begin{cases} 2x - y = 8 \\ x + 3y = -10 \end{cases}$

Pembahasan Lengkap

Matriks pada soal pertama adalah:

$M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}$

Determinannya adalah:

$\begin{aligned} \det(M) &= (9 \times -7) - (x \times 8) \\ &= -63 - 8x \end{aligned}$

Diketahui $\det(M) = 9$ , maka:
$-63 - 8x = 9$
Jadi, nilai $x$ adalah $-9$ .
Sistem persamaan linear:
$2x - y = 8$
Kita tentukan $D, D_x,$ dan $D_y$ .
$\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \\ &= (2 \times 3) - (-1 \times 1) \\ &= 6 - (-1) \\ &= 6 + 1 \\ &= 7 \end{aligned}$
Maka, nilai $x$ dan $y$ adalah:
$x = \frac{D_x}{D} = \frac{14}{7} = 2$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x=2$ dan $y=-4$ , atau pasangan berurutan $(2, -4)$ .