Memahami Matriks

Menyusun Bilangan dalam Baris dan Kolom

Tabel sering menyusun informasi dalam baris dan kolom. Daftar nilai kelas, misalnya, dapat menempatkan satu siswa pada setiap baris dan satu mata pelajaran pada setiap kolom. Matriks menggunakan susunan persegi panjang yang sama untuk mengolah bilangan secara matematis.

Bilangan di dalam matriks disebut elemen atau entri matriks. Biasanya, elemen-elemen tersebut diapit tanda kurung $()$ atau kurung siku $[]$ . Baris dan kolom suatu entri menentukan besaran yang diwakilinya, sehingga memindahkan entri akan mengubah maknanya.

Perhatikan nilai Matematika dan Bahasa Inggris dari tiga siswa berikut:

Siswa	Matematika	Bahasa Inggris
Aisyah	$80$	$75$
Alex	$70$	$95$
Wayan	$95$	$75$

Jika hanya entri bilangannya yang diambil, kita memperoleh matriks:

A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}

Matriks yang sama juga dapat ditulis dengan tanda kurung:

A = \begin{pmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{pmatrix}

Jadi, $80, 75, 70, 95, 95, 75$ adalah elemen-elemen matriks $A$ .

Baris Kolom dan Elemen

Tiga istilah berikut menjelaskan struktur matriks:

Baris adalah susunan elemen secara mendatar.
Kolom adalah susunan elemen secara tegak.
Elemen adalah satu entri pada baris dan kolom tertentu.

Untuk matriks $A$ :

A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}

Baris $1$ adalah $[80 \ 75]$
Baris $2$ adalah $[70 \ 95]$
Baris $3$ adalah $[95 \ 75]$
Kolom $1$ :

$\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}$
Kolom $2$ :

$\begin{bmatrix} 75 \\ 95 \\ 75 \end{bmatrix}$

Elemen matriks $A$ ditulis sebagai $a_{ij}$ . Indeks pertama $i$ menunjukkan baris, sedangkan indeks kedua $j$ menunjukkan kolom.

A=[a_{ij}]_{m\times n}

Di sini, $m$ adalah jumlah baris dan $n$ adalah jumlah kolom. Indeks baris $i$ berupa bilangan bulat yang memenuhi $1\le i\le m$ . Indeks kolom $j$ berupa bilangan bulat yang memenuhi $1\le j\le n$ . Batas ini memastikan bahwa indeksnya menunjuk ke posisi di dalam matriks.

Untuk matriks di atas:

$a_{11}$ berada pada baris $1$ , kolom $1$ , sehingga $a_{11}=80$ .
$a_{12}$ berada pada baris $1$ , kolom $2$ , sehingga $a_{12}=75$ .
$a_{21}$ berada pada baris $2$ , kolom $1$ , sehingga $a_{21}=70$ .
$a_{22}$ berada pada baris $2$ , kolom $2$ , sehingga $a_{22}=95$ .
$a_{31}$ berada pada baris $3$ , kolom $1$ , sehingga $a_{31}=95$ .
$a_{32}$ berada pada baris $3$ , kolom $2$ , sehingga $a_{32}=75$ .

Ordo Matriks

Ordo matriks menyatakan jumlah baris terlebih dahulu, lalu jumlah kolom. Matriks dengan $m$ baris dan $n$ kolom berordo $m \times n$ , dibaca " $m$ kali $n$ ."

Untuk matriks $A$ :

A = \underbrace{\begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}}_{\text{2 kolom}} \hspace{0.1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0.1em} \text{3 baris}

Matriks $A$ memiliki $3$ baris dan $2$ kolom, sehingga ordonya $3 \times 2$ . Kita dapat menuliskannya sebagai $A_{3 \times 2}$ .

Contoh lain:

Misalkan tabel kehadiran selama satu semester mencatat izin, sakit, dan tanpa keterangan:

Siswa	Izin	Sakit	Tanpa Keterangan
Aisyah	$2$	$1$	$0$
Alex	$3$	$1$	$1$
Wayan	$1$	$2$	$1$

Entri bilangannya membentuk matriks $B$ :

B = \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{3 kolom}} \hspace{0.1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0.1em} \text{3 baris}

Matriks $B$ memiliki $3$ baris dan $3$ kolom. Jadi, ordonya $3 \times 3$ dan dapat ditulis $B_{3 \times 3}$ .

Sebagai contoh:

$b_{11} = 2$ adalah elemen pada baris $1$ , kolom $1$ .
$b_{23} = 1$ adalah elemen pada baris $2$ , kolom $3$ .
$b_{32} = 2$ adalah elemen pada baris $3$ , kolom $2$ .

Notasi Umum Matriks

Matriks $A$ dengan $m$ baris dan $n$ kolom dapat ditulis sebagai:

A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

Notasi tersebut berarti:

$A_{m \times n}$ adalah matriks $A$ berordo $m \times n$ .
$m$ adalah jumlah baris.
$n$ adalah jumlah kolom.
$a_{ij}$ adalah elemen pada baris $i$ dan kolom $j$ .

Jenis dan operasi matriks memakai posisi baris dan kolom untuk menentukan elemen yang dibandingkan, digabungkan, atau ditransformasikan.

Menyusun Bilangan dalam Baris dan Kolom

Perhatikan nilai Matematika dan Bahasa Inggris dari tiga siswa berikut:

Siswa	Matematika	Bahasa Inggris
Aisyah	$80$	$75$
Alex	$70$	$95$
Wayan	$95$	$75$

Jika hanya entri bilangannya yang diambil, kita memperoleh matriks:

A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}

Matriks yang sama juga dapat ditulis dengan tanda kurung:

A = \begin{pmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{pmatrix}

Jadi, $80, 75, 70, 95, 95, 75$ adalah elemen-elemen matriks $A$ .

Baris Kolom dan Elemen

Tiga istilah berikut menjelaskan struktur matriks:

Baris adalah susunan elemen secara mendatar.
Kolom adalah susunan elemen secara tegak.
Elemen adalah satu entri pada baris dan kolom tertentu.

Untuk matriks $A$ :

A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}

Baris $1$ adalah $[80 \ 75]$
Baris $2$ adalah $[70 \ 95]$
Baris $3$ adalah $[95 \ 75]$
Kolom $1$ :

$\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}$
Kolom $2$ :

$\begin{bmatrix} 75 \\ 95 \\ 75 \end{bmatrix}$

Elemen matriks $A$ ditulis sebagai $a_{ij}$ . Indeks pertama $i$ menunjukkan baris, sedangkan indeks kedua $j$ menunjukkan kolom.

A=[a_{ij}]_{m\times n}

Untuk matriks di atas:

$a_{11}$ berada pada baris $1$ , kolom $1$ , sehingga $a_{11}=80$ .
$a_{12}$ berada pada baris $1$ , kolom $2$ , sehingga $a_{12}=75$ .
$a_{21}$ berada pada baris $2$ , kolom $1$ , sehingga $a_{21}=70$ .
$a_{22}$ berada pada baris $2$ , kolom $2$ , sehingga $a_{22}=95$ .
$a_{31}$ berada pada baris $3$ , kolom $1$ , sehingga $a_{31}=95$ .
$a_{32}$ berada pada baris $3$ , kolom $2$ , sehingga $a_{32}=75$ .

Ordo Matriks

Ordo matriks menyatakan jumlah baris terlebih dahulu, lalu jumlah kolom. Matriks dengan $m$ baris dan $n$ kolom berordo $m \times n$ , dibaca " $m$ kali $n$ ."

Untuk matriks $A$ :

A = \underbrace{\begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}}_{\text{2 kolom}} \hspace{0.1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0.1em} \text{3 baris}

Matriks $A$ memiliki $3$ baris dan $2$ kolom, sehingga ordonya $3 \times 2$ . Kita dapat menuliskannya sebagai $A_{3 \times 2}$ .

Contoh lain:

Misalkan tabel kehadiran selama satu semester mencatat izin, sakit, dan tanpa keterangan:

Siswa	Izin	Sakit	Tanpa Keterangan
Aisyah	$2$	$1$	$0$
Alex	$3$	$1$	$1$
Wayan	$1$	$2$	$1$

Entri bilangannya membentuk matriks $B$ :

B = \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{3 kolom}} \hspace{0.1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0.1em} \text{3 baris}

Matriks $B$ memiliki $3$ baris dan $3$ kolom. Jadi, ordonya $3 \times 3$ dan dapat ditulis $B_{3 \times 3}$ .

Sebagai contoh:

$b_{11} = 2$ adalah elemen pada baris $1$ , kolom $1$ .
$b_{23} = 1$ adalah elemen pada baris $2$ , kolom $3$ .
$b_{32} = 2$ adalah elemen pada baris $3$ , kolom $2$ .

Notasi Umum Matriks

Matriks $A$ dengan $m$ baris dan $n$ kolom dapat ditulis sebagai:

A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

Notasi tersebut berarti:

$A_{m \times n}$ adalah matriks $A$ berordo $m \times n$ .
$m$ adalah jumlah baris.
$n$ adalah jumlah kolom.
$a_{ij}$ adalah elemen pada baris $i$ dan kolom $j$ .

Jenis dan operasi matriks memakai posisi baris dan kolom untuk menentukan elemen yang dibandingkan, digabungkan, atau ditransformasikan.