Berbagai Jenis Matriks

Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

Ordo matriks baris adalah $1 \times n$ , dengan $n$ adalah banyaknya kolom.

Bentuk umumnya:

A_{1 \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \end{bmatrix}

Contoh:

P = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 & 7 \end{bmatrix}

Matriks $P$ adalah matriks baris berordo $1 \times 4$ .

Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Ordo matriks kolom adalah $m \times 1$ , dengan $m$ adalah banyaknya baris.

Bentuk umumnya:

B_{m \times 1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}

Contoh:

Q = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ -4 \end{bmatrix}

Matriks $Q$ adalah matriks kolom berordo $3 \times 1$ .

Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama.

Jika $\text{jumlah baris} = \text{jumlah kolom} = n$ , maka matriks tersebut berordo $n \times n$ .

Bentuk umumnya:

A_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}

Pada matriks persegi, terdapat:

Diagonal Utama:

Elemen-elemen $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ (yaitu $a_{ij}$ untuk $i=j$ ).
Diagonal Samping:

Elemen-elemen $a_{1n}, a_{2,n-1}, \dots, a_{n1}$ (yaitu $a_{ij}$ untuk $i+j=n+1$ ).

Contoh:

M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

Matriks $M$ adalah matriks persegi berordo $3 \times 3$ . Elemen diagonal utamanya adalah $1, 5, 9$ . Elemen diagonal sampingnya adalah $3, 5, 7$ .

Matriks Persegi Panjang

Matriks persegi panjang adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya tidak sama ( $m \neq n$ ).

Contoh umum:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Matriks $C$ di atas memiliki $2$ baris dan $3$ kolom, sehingga ordonya adalah $2 \times 3$ . Karena jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom ( $2 \neq 3$ ), maka matriks $C$ adalah matriks persegi panjang.

Matriks persegi panjang dengan lebih banyak kolom daripada baris sering disebut matriks lebar. Matriks dengan lebih banyak baris daripada kolom sering disebut matriks tinggi.

Matriks Lebar

Matriks lebar adalah matriks persegi panjang dengan jumlah kolom lebih banyak daripada jumlah baris ( $n > m$ ).

Contoh:

D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 3 & 5 \end{bmatrix}

Matriks $D$ adalah matriks lebar berordo $2 \times 3$ .

Matriks Tinggi

Matriks tinggi adalah matriks persegi panjang dengan jumlah baris lebih banyak daripada jumlah kolom ( $m > n$ ).

Contoh:

T = \begin{bmatrix} 7 & 1 \\ 0 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

Matriks $T$ adalah matriks tinggi berordo $3 \times 2$ .

Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi dengan elemen nol di salah satu sisi diagonal utama. Nilai elemen di diagonal utama boleh apa saja. Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah dibedakan oleh sisi mana yang bernilai nol.

Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Artinya, $a_{ij} = 0$ untuk setiap $i > j$ .

Contoh:

U = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Artinya, $a_{ij} = 0$ untuk setiap $i < j$ .

Contoh:

L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & 9 \end{bmatrix}

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol.

Artinya, $a_{ij} = 0$ untuk setiap $i \neq j$ . Elemen pada diagonal utama bisa bernilai nol atau tidak.

Contoh:

X = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Matriks $X$ adalah matriks diagonal berordo $3 \times 3$ .

Matriks Identitas

Matriks identitas (dilambangkan dengan $I$ atau $I_n$ ) adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai $1$ .

Contoh:

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Matriks identitas berperan sebagai elemen netral dalam perkalian matriks. Jika $A$ berordo $m \times n$ , ordo matriks identitas harus sesuai dengan sisi perkaliannya:

I_mA=A=AI_n

Matriks Nol

Matriks nol (dilambangkan dengan $O$ atau $O_{m \times n}$ ) adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Contoh:

O_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Matriks Simetris

Matriks simetris adalah matriks persegi yang transposnya sama dengan matriks itu sendiri ( $A^T = A$ ).

Ini berarti elemen $a_{ij} = a_{ji}$ untuk semua $i$ dan $j$ . Elemen-elemennya simetris (seperti cermin) terhadap diagonal utama.

Contoh:

S = \begin{bmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 7 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 5 \end{bmatrix}

Pada matriks $S$ :

$s_{12} = s_{21} = 7$
$s_{13} = s_{31} = -3$
$s_{23} = s_{32} = 0$

Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

Ordo matriks baris adalah $1 \times n$ , dengan $n$ adalah banyaknya kolom.

Bentuk umumnya:

A_{1 \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \end{bmatrix}

Contoh:

P = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 & 7 \end{bmatrix}

Matriks $P$ adalah matriks baris berordo $1 \times 4$ .

Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Ordo matriks kolom adalah $m \times 1$ , dengan $m$ adalah banyaknya baris.

Bentuk umumnya:

B_{m \times 1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}

Contoh:

Q = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ -4 \end{bmatrix}

Matriks $Q$ adalah matriks kolom berordo $3 \times 1$ .

Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama.

Jika $\text{jumlah baris} = \text{jumlah kolom} = n$ , maka matriks tersebut berordo $n \times n$ .

Bentuk umumnya:

A_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}

Pada matriks persegi, terdapat:

Diagonal Utama:

Elemen-elemen $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ (yaitu $a_{ij}$ untuk $i=j$ ).
Diagonal Samping:

Elemen-elemen $a_{1n}, a_{2,n-1}, \dots, a_{n1}$ (yaitu $a_{ij}$ untuk $i+j=n+1$ ).

Contoh:

M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

Matriks $M$ adalah matriks persegi berordo $3 \times 3$ . Elemen diagonal utamanya adalah $1, 5, 9$ . Elemen diagonal sampingnya adalah $3, 5, 7$ .

Matriks Persegi Panjang

Matriks persegi panjang adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya tidak sama ( $m \neq n$ ).

Contoh umum:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Matriks persegi panjang dengan lebih banyak kolom daripada baris sering disebut matriks lebar. Matriks dengan lebih banyak baris daripada kolom sering disebut matriks tinggi.

Matriks Lebar

Matriks lebar adalah matriks persegi panjang dengan jumlah kolom lebih banyak daripada jumlah baris ( $n > m$ ).

Contoh:

D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 3 & 5 \end{bmatrix}

Matriks $D$ adalah matriks lebar berordo $2 \times 3$ .

Matriks Tinggi

Matriks tinggi adalah matriks persegi panjang dengan jumlah baris lebih banyak daripada jumlah kolom ( $m > n$ ).

Contoh:

T = \begin{bmatrix} 7 & 1 \\ 0 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

Matriks $T$ adalah matriks tinggi berordo $3 \times 2$ .

Matriks Segitiga

Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Artinya, $a_{ij} = 0$ untuk setiap $i > j$ .

Contoh:

U = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Artinya, $a_{ij} = 0$ untuk setiap $i < j$ .

Contoh:

L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & 9 \end{bmatrix}

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol.

Artinya, $a_{ij} = 0$ untuk setiap $i \neq j$ . Elemen pada diagonal utama bisa bernilai nol atau tidak.

Contoh:

X = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Matriks $X$ adalah matriks diagonal berordo $3 \times 3$ .

Matriks Identitas

Matriks identitas (dilambangkan dengan $I$ atau $I_n$ ) adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai $1$ .

Contoh:

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Matriks identitas berperan sebagai elemen netral dalam perkalian matriks. Jika $A$ berordo $m \times n$ , ordo matriks identitas harus sesuai dengan sisi perkaliannya:

I_mA=A=AI_n

Matriks Nol

Matriks nol (dilambangkan dengan $O$ atau $O_{m \times n}$ ) adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Contoh:

O_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Matriks Simetris

Matriks simetris adalah matriks persegi yang transposnya sama dengan matriks itu sendiri ( $A^T = A$ ).

Ini berarti elemen $a_{ij} = a_{ji}$ untuk semua $i$ dan $j$ . Elemen-elemennya simetris (seperti cermin) terhadap diagonal utama.

Contoh:

S = \begin{bmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 7 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 5 \end{bmatrix}

Pada matriks $S$ :

$s_{12} = s_{21} = 7$
$s_{13} = s_{31} = -3$
$s_{23} = s_{32} = 0$