Metode Sarrus

Pola Tanda dalam Rumus Determinan

Metode Sarrus adalah cara praktis untuk menghitung determinan matriks berordo $3 \times 3$ . Untuk memahami pola tandanya, ingat kembali cara menghitung determinan matriks $2 \times 2$ .

Jika kita memiliki matriks $2 \times 2$ :

M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinannya, $\det(M)$ atau $|M|$ , dihitung sebagai berikut:

\det(M) = ad - bc

Ini adalah selisih antara perkalian elemen diagonal utama ( $ad$ ) dan perkalian elemen diagonal sekunder ( $bc$ ). Metode Sarrus mengadaptasi prinsip ini untuk matriks $3 \times 3$ .

Langkah Menghitung Determinan Matriks Ordo Tiga dengan Metode Sarrus

Misalkan kita memiliki matriks $A$ berordo $3 \times 3$ :

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

Elemen $a_{ij}$ adalah elemen pada baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ .

Langkah 1: Salin Dua Kolom Pertama

Tuliskan kembali dua kolom pertama matriks $A$ di sebelah kanan kolom ketiga:

\begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}

Salinan kedua kolom menampilkan tiga diagonal turun dan tiga diagonal naik yang akan dikalikan.

Langkah 2: Hitung Jumlah Hasil Perkalian Diagonal Positif

Kalikan elemen-elemen di sepanjang tiga diagonal dari kiri atas ke kanan bawah. Jumlahkan hasil perkalian ini, kita sebut $D_{\text{positif}}$ .

\begin{aligned} D_{\text{positif}} &= (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}) \\ &\quad{}+ (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}) \\ &\quad{}+ (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}) \end{aligned}

Suku pertama adalah perkalian diagonal utama. Suku kedua dan ketiga adalah perkalian diagonal sejajar yang melibatkan elemen dari kolom yang disalin.

Langkah 3: Hitung Jumlah Hasil Perkalian Diagonal Negatif

Kalikan elemen-elemen di sepanjang tiga diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Jumlahkan hasil perkalian ini, kita sebut $D_{\text{negatif}}$ .

\begin{aligned} D_{\text{negatif}} &= (a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}) \\ &\quad{}+ (a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) \\ &\quad{}+ (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}) \end{aligned}

Suku pertama adalah perkalian diagonal sekunder (anti-diagonal). Suku kedua dan ketiga adalah perkalian diagonal sejajar yang melibatkan elemen dari kolom yang disalin, bergerak ke arah kiri bawah.

Langkah 4: Hitung Determinan Akhir

Determinan matriks $A$ , $\det(A)$ , adalah selisih antara $D_{\text{positif}}$ dan $D_{\text{negatif}}$ :

\det(A) = D_{\text{positif}} - D_{\text{negatif}}

Substitusikan nilai $D_{\text{positif}}$ dan $D_{\text{negatif}}$ :

\begin{aligned} &\det(A) \\ &=\left(\begin{aligned} &a_{11}a_{22}a_{33} \\ &{}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\end{aligned}\right) \\ &\quad{}-\left(\begin{aligned} &a_{13}a_{22}a_{31} \\ &{}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\end{aligned}\right) \end{aligned}

Atau, setelah tanda negatif didistribusikan:

\begin{aligned} \det(A) &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} \\ &\quad{}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} \\ &\quad{}- a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

Contoh Numerik dengan Pembahasan

Hitung determinan matriks $P$ berikut:

P=\begin{bmatrix}1&3&2\\2&6&2\\5&9&4\end{bmatrix}

Pisahkan kedua jumlah diagonal hingga pengurangan terakhir agar tandanya lebih mudah diperiksa:

\begin{aligned} D_+ &=(1)(6)(4)+(3)(2)(5) \\ &\quad+(2)(2)(9) \\ &=24+30+36 \\ &=90 \end{aligned}

Jadi, determinannya adalah $-12$ . Ekspansi kofaktor pada matriks yang sama menghasilkan nilai yang sama dan dapat dipakai sebagai pemeriksaan independen.

Enam Hasil Kali Diagonal dalam Metode Sarrus

Mulai dari matriks berikut:

\det(A) = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|

Kemudian, dengan Metode Sarrus, kita perluas matriks dan identifikasi jalur perkalian:

\begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}

Ikuti jalur negatif $\swarrow$ . Jalur kedua mulai dari $a_{11}$ pada kolom salinan 4. Jalur ketiga dari $a_{12}$ pada kolom salinan 5:

\begin{aligned} &-(a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}) \\ &-(a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}) \\ &-(a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}) \end{aligned}

Sehingga, formula lengkapnya menjadi:

\begin{aligned} &\det(A) \\ &=\left(\begin{aligned} &a_{11}a_{22}a_{33} \\ &{}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\end{aligned}\right) \\ &\quad{}-\left(\begin{aligned} &a_{13}a_{22}a_{31} \\ &{}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\end{aligned}\right) \end{aligned}

Batas Keberlakuan Metode Sarrus

Metode Sarrus hanya berlaku untuk matriks berordo $3 \times 3$ . Perhitungan matriks $2 \times 2$ di atas sekadar mengingatkan kita pada pola tanda diagonal. Untuk matriks yang lebih besar, seperti matriks $4 \times 4$ , gunakan metode lain seperti ekspansi kofaktor atau reduksi baris.

Latihan dengan Pembahasan

Gunakan metode Sarrus untuk menghitung determinan:

B=\begin{bmatrix}2&-1&3\\0&4&5\\1&2&-2\end{bmatrix}

Hitung dahulu kedua jumlah diagonal, lalu kurangkan jumlah diagonal negatif dari jumlah diagonal positif:

\begin{aligned} D_+ &=(2)(4)(-2)+(-1)(5)(1) \\ &\quad+(3)(0)(2) \\ &=-16-5+0 \\ &=-21 \end{aligned}

Dengan demikian, $\det(B)=-53$ .