Sifat Determinan Matriks

Determinan pada Perkalian Matriks dan Perkalian Skalar

Misalkan kita memiliki dua matriks, $A$ dan $B$ , sebagai berikut:

A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}

Determinan dari Perkalian Dua Matriks

Kita selidiki hubungan antara determinan dari perkalian dua matriks ( $|AB|$ ) dengan perkalian dari masing-masing determinannya ( $|A||B|$ ).

Langkah 1: Hitung Determinan Matriks $A$ ( $|A|$ )

\begin{aligned} |A| &= (-5 \cdot -3) - (2 \cdot 1) \\ &= 15 - 2 \\ &= 13 \end{aligned}

Langkah 2: Hitung Determinan Matriks $B$ ( $|B|$ )

\begin{aligned} |B| &= (9 \cdot -1) - (-4 \cdot 1) \\ &= -9 - (-4) \\ &= -9 + 4 \\ &= -5 \end{aligned}

Langkah 3: Tentukan Hasil Perkalian Matriks $A$ dan $B$ ( $AB$ )

Matriks $AB$ diperoleh dengan mengalikan matriks $A$ dan $B$ :

AB = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

Hitung setiap entri dengan mengalikan baris dan kolom:

\begin{aligned} &m_{11}=(-5)(9) + (2)(1) \\ &m_{12}=(-5)(-4) + (2)(-1) \\ &m_{21}=(1)(9) + (-3)(1) \\ &m_{22}=(1)(-4) + (-3)(-1) \end{aligned}

Langkah 4: Hitung Determinan Matriks $AB$ ( $|AB|$ )

Sekarang, kita hitung determinan dari matriks hasil perkalian $AB$ :

\begin{aligned} |AB| &= (-43 \cdot -1) - (18 \cdot 6) \\ &= 43 - 108 \\ &= -65 \end{aligned}

Langkah 5: Bandingkan $|AB|$ dengan $|A||B|$

Kita telah mendapatkan $|A| = 13$ , $|B| = -5$ , dan $|AB| = -65$ .

Hitung $|A||B|$ :

|A||B| = 13 \cdot (-5) = -65

Perhatikan bahwa nilai $|AB|$ sama dengan nilai $|A||B|$ .

Rumusan Sifat Determinan Perkalian Matriks

Jika $A$ dan $B$ adalah dua matriks persegi berordo sama, maka determinan dari hasil kali matriks $A$ dan $B$ sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks.

|AB| = |A||B|

Determinan Matriks dengan Perkalian Skalar

Sekarang, selidiki apa yang terjadi pada determinan sebuah matriks jika setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan sebuah skalar (konstanta).

Misalkan kita gunakan matriks $A$ dari contoh sebelumnya dan sebuah skalar $k=2$ .

A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}

Kita sudah tahu bahwa $|A| = 13$ . Matriks $A$ adalah matriks berordo $2 \times 2$ , sehingga $n=2$ .

Langkah 1: Tentukan Matriks $kA$

Kalikan setiap elemen matriks $A$ dengan skalar $k=2$ :

\begin{aligned} kA &= 2A \\ &= 2\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2(-5) & 2(2) \\ 2(1) & 2(-3) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ 2 & -6 \end{bmatrix} \end{aligned}

Langkah 2: Hitung Determinan Matriks $kA$ ( $|kA|$ )

\begin{aligned} |kA| &= (-10 \cdot -6) - (4 \cdot 2) \\ &= 60 - 8 \\ &= 52 \end{aligned}

Langkah 3: Bandingkan $|kA|$ dengan $k^n|A|$

Kita memiliki $|kA| = 52$ . Skalar $k=2$ , ordo matriks $n=2$ , dan $|A|=13$ .

Hitung $k^n|A|$ :

k^n|A| = 2^2 \cdot 13 = 4 \cdot 13 = 52

Perhatikan bahwa nilai $|kA|$ sama dengan nilai $k^n|A|$ .

Rumusan Sifat Determinan Perkalian Skalar

Jika $A$ adalah matriks persegi berordo $n \times n$ dan $k$ adalah suatu skalar, maka determinan dari matriks $kA$ adalah $k^n$ dikalikan dengan determinan matriks $A$ .

|kA| = k^n |A|

Di sini, $n$ adalah ordo (jumlah baris atau kolom) dari matriks persegi $A$ .

Sifat Determinan Lainnya

Sifat hasil kali dan penskalaan seluruh matriks merupakan bagian dari aturan determinan yang lebih luas. Pada tabel berikut, $A$ adalah matriks persegi dan setiap operasi baris menghasilkan matriks baru $B$ .

Perubahan atau bentuk matriks	Pengaruh terhadap determinan
Transpos	$\det(A^T)=\det(A)$
Invers, jika $\det(A)\neq0$	$\det(A^{-1})=1/\det(A)$
Matriks segitiga $U$	$\det(U)=\prod_{i=1}^{n}u_{ii}$
Tukar dua baris, $R_i\leftrightarrow R_j$	$\det(B)=-\det(A)$
Kalikan satu baris dengan $k$	$\det(B)=k\det(A)$
Tambahkan kelipatan satu baris ke baris lain, $R_i\leftarrow R_i+kR_j$	$\det(B)=\det(A)$
Dua baris sama, atau satu baris nol	$\det(A)=0$

Jangan mencampuradukkan penskalaan satu baris dengan penskalaan seluruh matriks. Pada matriks $n\times n$ , $kA$ mengalikan semua $n$ baris dengan $k$ . Karena itu, faktor $k$ muncul sebanyak $n$ kali dan menghasilkan $k^n$ .

Uji Pemahaman

Mulai dari:

A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\qquad \det(A)=-2

Aturan determinan memprediksi setiap hasil sebelum kita melakukan ekspansi penuh:

B=\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\det(B)=2

Matriks $B$ menukar kedua baris, matriks $C$ mengalikan baris pertama dengan $5$ , dan matriks $D$ menerapkan $R_2\leftarrow R_2+3R_1$ . Perhitungan langsung mengonfirmasi ketiga prediksi tersebut.