Perkalian Matriks

Memasangkan Baris Matriks Pertama dengan Kolom Matriks Kedua

Perkalian matriks memasangkan setiap baris matriks pertama dengan setiap kolom matriks kedua, mengalikan setiap pasangan elemennya, lalu menjumlahkan hasilnya. Berbeda dengan penjumlahan matriks, perkalian tidak dilakukan pada elemen yang menempati posisi sama.

Syarat Perkalian Matriks

Dua matriks, katakanlah matriks $A$ dan matriks $B$ , dapat dikalikan ( $A \times B$ ) hanya jika jumlah kolom pada matriks $A$ sama dengan jumlah baris pada matriks $B$ .

Misalkan matriks $A$ memiliki ordo $m \times n$ (artinya $m$ baris dan $n$ kolom) dan matriks $B$ memiliki ordo $n \times p$ (artinya $n$ baris dan $p$ kolom).

Karena jumlah kolom matriks $A$ ( $n$ ) sama dengan jumlah baris matriks $B$ ( $n$ ), maka matriks $A$ dan $B$ dapat dikalikan.

Hasil perkaliannya, sebut saja matriks $C = AB$ , akan memiliki ordo $m \times p$ .

Pemeriksaan ordo dapat diringkas dalam satu baris: $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ dan $B\in\mathbb{R}^{n\times p}$ menghasilkan $AB\in\mathbb{R}^{m\times p}$ . Ordo dalam $n$ dipakai pada setiap hasil kali titik, sedangkan ordo luar $m$ dan $p$ menentukan bentuk hasil.

Cara Menghitung Elemen Hasil Perkalian

Elemen $c_{ij}$ pada matriks $C$ (yaitu elemen pada baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ ) dihitung dengan mengalikan setiap elemen pada baris ke- $i$ dari matriks $A$ dengan elemen yang bersesuaian pada kolom ke- $j$ dari matriks $B$ , kemudian menjumlahkan semua hasil perkalian tersebut.

Secara matematis, jika $A = [a_{ik}]$ dan $B = [b_{kj}]$ , maka elemen $c_{ij}$ dari matriks $C = AB$ adalah:

\begin{aligned} c_{ij} &= \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \\ &= a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj} \end{aligned}

Notasi $\sum$ (sigma) berarti penjumlahan.

Dalam rumus di atas, kita menjumlahkan hasil perkalian $a_{ik}b_{kj}$ untuk semua nilai $k$ dari $1$ sampai $n$ .

Langkah Mengalikan Matriks

Pada contoh berikut, setiap elemen matriks $R$ dihitung dari hasil kali titik antara satu baris matriks $P$ dan satu kolom matriks $Q$ .

Kedua matriks tersebut adalah:

P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}

Matriks $P$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $Q$ juga berordo $2 \times 2$ . Jumlah kolom $P$ (yaitu $2$ ) sama dengan jumlah baris $Q$ (yaitu $2$ ), jadi kita bisa mengalikannya. Hasilnya, $R = PQ$ , akan berordo $2 \times 2$ .

R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{bmatrix}

Elemen-elemen matriks $R$ dihitung sebagai berikut:

\begin{aligned} r_{11} &= (\text{baris 1 dari } P) \\ &\quad\cdot (\text{kolom 1 dari } Q) \\ &= p_{11}q_{11} + p_{12}q_{21} \end{aligned}

Contoh Perkalian Dua Matriks

Diberikan dua matriks:

A = \begin{bmatrix} -7 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}

Matriks $A$ berordo $3 \times 3$ dan matriks $B$ berordo $3 \times 2$ .

Jumlah kolom matriks $A$ (yaitu $3$ ) sama dengan jumlah baris matriks $B$ (yaitu $3$ ).

Jadi, $AB$ dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks berordo $3 \times 2$ .

Hitung $C = AB$ :

C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}

Jadi, hasil perkalian matriks $AB$ adalah:

AB = \begin{bmatrix} -13 & -8 \\ -1 & 2 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}

Sekarang, bagaimana dengan $BA$ ?

Matriks $B$ berordo $3 \times 2$ dan matriks $A$ berordo $3 \times 3$ .

Jumlah kolom matriks $B$ (yaitu $2$ ) tidak sama dengan jumlah baris matriks $A$ (yaitu $3$ ).

Oleh karena itu, perkalian $BA$ tidak terdefinisi. Karena itu, urutan kedua matriks menentukan apakah perkalian dapat dilakukan.

Sifat Perkalian Matriks

Dari contoh $AB$ dan $BA$ tadi, lima aturan berikut merangkum kapan urutan dan pengelompokan boleh kamu ubah dan kapan tidak.

Umumnya Tidak Komutatif:

Artinya, $AB \neq BA$ . Pada contoh di atas, $AB$ terdefinisi tetapi $BA$ tidak. Bahkan jika kedua produk terdefinisi, matriks hasil belum tentu sama.
Asosiatif:

Jika semua hasil kali pada kedua ruas terdefinisi, maka berlaku $(AB)C = A(BC)$ . Artinya, urutan pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil akhir.
Distributif:

Perkalian matriks bersifat distributif terhadap penjumlahan atau pengurangan matriks:
$A(B + C) = AB + AC$
Ini berlaku jika semua operasi penjumlahan dan perkalian yang terlibat terdefinisi.
Perkalian dengan Matriks Identitas ( $I$ ):

Jika $A$ berordo $m \times n$ , identitas kiri $I_m$ berordo $m \times m$ , sedangkan identitas kanan $I_n$ berordo $n \times n$ :

$I_mA=A=AI_n$

Matriks identitas berperan seperti angka $1$ dalam perkalian bilangan biasa.
Perkalian dengan Skalar ( $k$ ):

Jika $k$ adalah sebuah skalar (bilangan riil), maka:

$k(AB) = (kA)B = A(kB)$

Menghitung Pendapatan

Perkalian matriks dapat menggabungkan tabel jumlah barang dengan tabel harga yang sesuai. Label baris dan kolom menentukan besaran mana yang dikalikan dan dijumlahkan, sehingga kesesuaian ordo saja belum cukup.

Misalkan sebuah industri rumahan menjual keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang di Tempat A, Tempat B, dan Tempat C.

Matriks penjualan $P$ menggunakan jenis produk sebagai baris dan tempat sebagai kolom. Artinya, setiap elemen $P$ menyatakan banyak toples satu produk yang terjual di satu tempat.

Dari atas ke bawah, barisnya mewakili keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang:

P = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix}

Baris pertama ( $\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \end{bmatrix}$ ) berarti $15$ toples keripik tempe terjual di Tempat A, $12$ di Tempat B, dan $20$ di Tempat C.

Harga setiap toples, dalam rupiah, disimpan dalam matriks kolom $Q$ dengan urutan produk yang sama:

Q = \begin{bmatrix} 20{.}000 \\ 15{.}000 \\ 30{.}000 \end{bmatrix}

Dari atas ke bawah, entri tersebut menyatakan harga keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.

Secara numerik, $PQ$ dapat dihitung karena kedua ordo dalamnya sama-sama $3$ . Namun, perkalian itu tidak bermakna untuk model ini. Kolom $P$ menyatakan tempat, sedangkan baris $Q$ menyatakan produk. Label keduanya tidak cocok.

Untuk menghitung pendapatan per tempat, transpos matriks harga lalu kalikan $Q^T$ dengan $P$ . Perkalian $S = Q^T P$ memasangkan harga setiap produk dengan penjualan produk yang sama.

Matriks $Q^T$ berordo $1 \times 3$ , sedangkan $P$ berordo $3 \times 3$ . Karena itu, $S$ berordo $1 \times 3$ dengan satu elemen untuk setiap tempat.

\begin{aligned} S &= \begin{bmatrix} 20{.}000 & 15{.}000 & 30{.}000 \end{bmatrix} \\ &\quad{}\cdot\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \end{aligned}

Maka, $S = \begin{bmatrix} 1{.}125{.}000 & 840{.}000 & 1{.}225{.}000 \end{bmatrix}$ .

Ini berarti total pendapatan dari Tempat A adalah $\text{Rp}1{.}125{.}000$ , dari Tempat B adalah $\text{Rp}840{.}000$ , dan dari Tempat C adalah $\text{Rp}1{.}225{.}000$ .

Pendapatan per produk memerlukan perkalian yang berbeda. Pertama, gunakan vektor satu $U$ untuk menjumlahkan setiap baris $P$ , lalu kalikan hasilnya dengan matriks harga diagonal yang diturunkan dari $Q$ .

U = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Matriks $R$ menyatakan pendapatan per produk: $\text{Rp}940{.}000$ untuk keripik tempe, $\text{Rp}750{.}000$ untuk keripik pisang, dan $\text{Rp}1{.}500{.}000$ untuk keripik kentang.

Jadi, syarat ordo saja belum cukup. Perkalian matriks yang bermakna juga harus memasangkan besaran dengan kategori yang sama dalam urutan yang sama.

Pada contoh ini, $Q^T$ dan $P$ menghasilkan pendapatan per tempat dalam $S$ , sedangkan matriks harga diagonal dan total produk menghasilkan pendapatan per produk dalam $R$ . Keduanya menjawab pertanyaan yang berbeda sehingga memerlukan perkalian yang berbeda.

Latihan

Diberikan matriks-matriks berikut:

C = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

Tentukan matriks $CD$ dan matriks $DC$ .

Apakah $CD = DC$ ?

Pembahasan Lengkap

Menghitung $CD$ :

Matriks $C$ berordo $2 \times 2$ dan $D$ berordo $2 \times 2$ . Hasilnya akan berordo $2 \times 2$ .

$CD = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}$

Hitung setiap entri dengan mengalikan baris dan kolom:
$\begin{aligned} &m_{11}=(1)(1) + (-3)(8) \\ &m_{12}=(1)(-4) + (-3)(2) \\ &m_{21}=(1)(1) + (2)(8) \\ &m_{22}=(1)(-4) + (2)(2) \end{aligned}$
Menghitung $DC$ :

Matriks $D$ berordo $2 \times 2$ dan $C$ berordo $2 \times 2$ . Hasilnya akan berordo $2 \times 2$ .

$DC = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

Hitung setiap entri dengan mengalikan baris dan kolom:
$\begin{aligned} &m_{11}=(1)(1) + (-4)(1) \\ &m_{12}=(1)(-3) + (-4)(2) \\ &m_{21}=(8)(1) + (2)(1) \\ &m_{22}=(8)(-3) + (2)(2) \end{aligned}$

Kedua hasil perkalian berbeda, sehingga $CD \neq DC$ . Perkalian matriks pada contoh ini tidak komutatif.