Aturan Penjumlahan

Peluang Terjadinya Salah Satu atau Kedua Kejadian

Bayangkan kita menanyakan cara setiap siswa pergi ke sekolah. Setelah memilih satu siswa secara acak, kita ingin mengetahui peluang bahwa siswa tersebut datang dengan sepeda ATAU motor.

Kata "ATAU" menggabungkan kedua kejadian. Aturan penjumlahan menghitung peluang bahwa kejadian $A$ terjadi, kejadian $B$ terjadi, atau keduanya terjadi jika terdapat irisan.

Ada dua keadaan yang menentukan rumusnya:

1. Kedua kejadian tidak dapat terjadi dalam satu percobaan. Kejadian seperti ini disebut saling lepas.
2. Kedua kejadian dapat terjadi dalam satu percobaan. Kejadian seperti ini disebut tidak saling lepas.

Perbedaannya terletak pada ada atau tidaknya irisan kedua kejadian.

Kejadian Saling Lepas

Kejadian saling lepas, yang juga disebut mutually exclusive atau disjoint, adalah dua kejadian yang tidak mungkin terjadi bersamaan dalam satu percobaan.

Jika kejadian $A$ terjadi, kejadian $B$ tidak terjadi, begitu pula sebaliknya.

Contoh:

1. Satu lemparan koin menghasilkan "Angka" atau "Gambar," tetapi tidak keduanya sekaligus.
2. Zain pergi ke sekolah dengan motor ATAU sepeda, dengan asumsi setiap siswa memakai satu moda transportasi.
3. Lempar dua dadu: Kejadian "jumlahnya $7$" ATAU kejadian "dapat angka kembar (double)".
   • Jumlah $7$: $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$
   • Angka kembar: $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$, $(4,4)$, $(5,5)$, $(6,6)$
   • Tidak ada pasangan berurutan yang muncul dalam kedua kelompok, sehingga kedua kejadian saling lepas.

Rumus Kejadian Saling Lepas

Jika kejadian $A$ dan $B$ saling lepas, irisannya kosong. Peluang "A ATAU B" cukup dihitung dengan menjumlahkan peluang masing-masing kejadian:

Contoh perhitungan:

Untuk percobaan dua dadu di atas:

• Peluang jumlah $7$ ($P(S=7)$) adalah $6$ pasangan dari total $36$, yaitu $6/36$
• Peluang dapat angka kembar ($P(\text{Kembar})$) adalah $6$ pasangan dari total $36$, yaitu $6/36$

Jadi, peluang memperoleh jumlah $7$ ATAU angka kembar adalah:

Kejadian Tidak Saling Lepas

Kejadian tidak saling lepas dapat terjadi bersamaan dalam satu percobaan, sehingga himpunan hasilnya memiliki irisan.

Contoh:

1. Ambil satu kartu dari setumpuk kartu bridge. Kejadian "mendapat kartu As" dan "mendapat kartu Hati ($\heartsuit$)" beririsan pada kartu As Hati ($A\heartsuit$).
2. Lempar dua dadu: Kejadian "jumlahnya $8$" ATAU kejadian "dapat angka kembar".
   • Jumlah $8$: $(2,6)$, $(3,5)$, $(4,4)$, $(5,3)$, $(6,2)$
   • Angka kembar: $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$, $(4,4)$, $(5,5)$, $(6,6)$
   • Pasangan $(4,4)$ muncul dalam kedua kelompok. Karena ada irisan, kedua kejadian tidak saling lepas.

Mengapa tidak cukup langsung dijumlahkan?

Jika kita langsung menjumlahkan $P(A) + P(B)$, bagian irisan akan terhitung dua kali: sekali sebagai anggota $A$ dan sekali lagi sebagai anggota $B$.

Pada contoh "jumlah $8$ ATAU angka kembar":

• $P(S=8)$ adalah $5$ pasangan, yaitu $5/36$
• $P(\text{Kembar})$ adalah $6$ pasangan, yaitu $6/36$

Penjumlahan langsung menghasilkan $5/36 + 6/36 = 11/36$, tetapi pasangan $(4,4)$ muncul dalam kedua kelompok. Peluang pasangan itu harus dikurangi satu kali untuk memperbaiki penghitungan ganda.

Rumus Kejadian Tidak Saling Lepas

Untuk kejadian $A$ dan $B$ yang tidak saling lepas, cara hitung peluang "A ATAU B" adalah:

Suku $P(A \text{ dan } B)$ adalah peluang irisan, yaitu ketika $A$ dan $B$ terjadi bersamaan. Pengurangan satu kali menghilangkan penghitungan ganda.

Contoh perhitungan:

Lanjutkan contoh "jumlah $8$ ATAU angka kembar":

• $P(S=8) = 5/36$
• $P(\text{Kembar}) = 6/36$
• Peluang kejadian "jumlah $8$ DAN kembar" ($P(S=8 \text{ dan Kembar})$) itu cuma satu, yaitu pasangan $(4, 4)$. Jadi peluangnya $1/36$.

Maka, peluang dapat jumlah $8$ ATAU angka kembar adalah:

Makna "ATAU" dalam matematika

Dalam matematika, "$A$ atau $B$" mencakup tiga kemungkinan: hanya $A$, hanya $B$, atau keduanya jika terdapat irisan. Kata "atau" bersifat inklusif, berbeda dari penggunaan sehari-hari yang kadang mengharuskan tepat satu pilihan.

Memilih Rumus Penjumlahan yang Tepat

Kedua rumus berbeda pada satu pertanyaan, yaitu apakah kedua kejadian dapat terjadi pada percobaan yang sama. Tabel berikut memasangkan setiap jawaban dengan rumus yang dipakai.

Rumus kedua mengurangi irisannya karena hasil yang masuk ke kedua kejadian terhitung dua kali, sekali pada $A$ dan sekali pada $B$.

Latihan

Di sebuah kelas yang berisi $30$ siswa, $18$ siswa mengikuti klub matematika, $14$ siswa mengikuti klub sains, dan $8$ siswa mengikuti kedua klub. Satu siswa dipilih secara acak.

1. Berapa peluang siswa yang terpilih mengikuti klub matematika atau klub sains?
2. Berapa peluang siswa tersebut tidak mengikuti kedua klub?

Pembahasan

Misalkan $M$ adalah kejadian “mengikuti klub matematika” dan $S$ adalah kejadian “mengikuti klub sains.” Sebanyak $8$ siswa yang mengikuti kedua klub masuk dalam kedua hitungan. Jadi, penjumlahan $18+14$ akan menghitung mereka dua kali. Aturan penjumlahan umum menghapus hitungan ganda tersebut:

Ada $30-24=6$ siswa yang tidak mengikuti kedua klub. Jadi,

Kedua peluang tersebut berjumlah $4/5+1/5=1$. Hasil ini memeriksa bahwa seluruh kelas sudah terbagi menjadi dua kelompok yang saling melengkapi: siswa yang mengikuti setidaknya satu klub dan siswa yang tidak mengikuti keduanya.

Irisan harus dikurangi tepat satu kali karena sudah masuk dalam kedua hitungan awal. Pemeriksaan komplemen ini membantu menemukan kelompok yang terlewat atau terhitung ganda sebelum hasil diterima.