Distribusi Peluang

Nilai Besaran Acak dan Peluangnya

Distribusi peluang mencantumkan nilai-nilai yang mungkin dari suatu besaran acak dan memberikan peluang untuk setiap nilai. Pada satu dadu, besarannya dapat berupa angka yang muncul. Pada dua dadu, besarannya dapat berupa jumlah kedua angka. Distribusi menunjukkan nilai yang mungkin dan peluang setiap nilai tersebut.

Mengenal Ruang Sampel dari Semua Kemungkinan Hasil

Ruang sampel adalah himpunan seluruh hasil dasar yang dapat terjadi dalam suatu percobaan. Ruang sampel ditulis dengan simbol $\Omega$ (Omega).

Pada satu lemparan dadu biasa bersisi $6$ , hasil yang mungkin adalah $1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6$ . Semua hasil tersebut membentuk ruang sampel:

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Total ada $6$ kemungkinan hasil di sini.

Kejadian dan Peluangnya

Kejadian memilih sebagian dari ruang sampel, sedangkan peluang mengukur seberapa besar bagian itu dibandingkan seluruh ruang sampel. Sebuah kejadian bisa berisi satu hasil saja atau beberapa hasil sekaligus.

Kejadian

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang memuat hasil-hasil dengan syarat tertentu.

Contoh:

Untuk percobaan dadu ( $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ), perhatikan kejadian "hasilnya genap." Hasil genapnya adalah $2, 4,$ dan $6$ , sehingga kejadian $A$ adalah:

A = \{2, 4, 6\}

Ada $3$ hasil di kejadian $A$ ini.

Hitung Peluang Kejadian

Peluang mengukur seberapa mungkin suatu kejadian terjadi.

Jika seluruh hasil dasar memiliki peluang yang sama, peluang kejadian diperoleh dengan membagi banyak hasil yang memenuhi kejadian dengan banyak seluruh hasil:

P(\text{Kejadian}) = \frac{\text{Banyaknya hasil di kejadian itu}}{\text{Total semua hasil di ruang sampel}}

Kalau pakai simbol dari contoh tadi:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Pada rumus tersebut:

$|A|$ adalah banyak hasil dalam kejadian $A$ , yaitu $3$ .
$|\Omega|$ adalah banyak seluruh hasil dalam ruang sampel, yaitu $6$ .

Jadi, peluang kejadian "muncul angka genap" (kejadian $A$ ) adalah:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Jadi, kejadian tersebut memiliki peluang $1/2$ , atau $50\%$ .

Aturan Distribusi Peluang

Distribusi peluang sah jika kedua aturan berikut berlaku untuk setiap nilai yang mungkin dari variabel acaknya. Kedua syarat itu membuat seluruh peluang yang terdaftar menjumlahkan satu dan menggambarkan semua hasil percobaan.

Peluang setiap nilai ( $P(x)$ ) berada di antara $0$ dan $1$ .

$0 \leq P(x) \leq 1$
Jumlah peluang seluruh nilai yang mungkin harus tepat $1$ .

$\sum_{x \in \Omega} P(x) = 1$

Lempar Satu Dadu

Pada satu dadu yang adil, setiap sisi memiliki peluang yang sama. Distribusinya adalah:

Hasil Muncul $x$	Peluang $P(x)$
$1$	$1/6$
$2$	$1/6$
$3$	$1/6$
$4$	$1/6$
$5$	$1/6$
$6$	$1/6$

Kenapa semua $1/6$ ?

Dadu memiliki $6$ sisi yang sama mungkin, sehingga setiap sisi berpeluang $1/6$ . Jumlahnya adalah $1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1$ , sesuai aturan kedua.

Lempar Dua Dadu

Sekarang lempar satu dadu merah dan satu dadu putih. Jika hasil dicatat sebagai pasangan berurutan, terdapat $36$ kemungkinan.

Kenapa $36$ ?

Dadu merah memiliki $6$ kemungkinan dan dadu putih juga memiliki $6$ kemungkinan, sehingga terbentuk $6 \times 6 = 36$ pasangan berurutan.

Beberapa pasangan hasil pertama dan terakhir dapat ditulis sebagai berikut:

Dadu merah $1$ , dadu putih $1$ menghasilkan $(1, 1)$ .
Dadu merah $1$ , dadu putih $2$ menghasilkan $(1, 2)$ .
Pasangan lain mengikuti urutan yang sama.
Dadu merah $6$ , dadu putih $6$ menghasilkan $(6, 6)$ .

Karena kedua dadu adil dan saling bebas, setiap pasangan berurutan memiliki peluang $1/36$ .

Bedakan $(1, 2)$ dan $(2, 1)$

Karena warna dadu berbeda, hasil $3$ pada dadu merah dan $2$ pada dadu putih berbeda dari hasil $2$ pada dadu merah dan $3$ pada dadu putih. Urutan menunjukkan dadu mana yang menghasilkan setiap angka.

Distribusi Peluang untuk Jumlah Angka Dua Dadu

Jika variabel acaknya adalah jumlah kedua dadu, nilai terkecilnya $1+1=2$ dan nilai terbesarnya $6+6=12$ . Setiap jumlah memiliki banyak pasangan berurutan yang berbeda, sehingga peluangnya juga berbeda:

Jumlah Angka $j$	Pasangan yang Mungkin	Banyaknya Pasangan	Peluang $P(j)$
$2$	$(1,1)$	$1$	$1/36$
$3$	$(1,2)$ , $(2,1)$	$2$	$2/36$
$4$	$(1,3)$ , $(2,2)$ , $(3,1)$	$3$	$3/36$
$5$	$(1,4)$ , $(2,3)$ , $(3,2)$ , $(4,1)$	$4$	$4/36$
$6$	$(1,5)$ , $(2,4)$ , $(3,3)$ , $(4,2)$ , $(5,1)$	$5$	$5/36$
$7$	$(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$	$6$	$6/36$
$8$	$(2,6)$ , $(3,5)$ , $(4,4)$ , $(5,3)$ , $(6,2)$	$5$	$5/36$
$9$	$(3,6)$ , $(4,5)$ , $(5,4)$ , $(6,3)$	$4$	$4/36$
$10$	$(4,6)$ , $(5,5)$ , $(6,4)$	$3$	$3/36$
$11$	$(5,6)$ , $(6,5)$	$2$	$2/36$
$12$	$(6,6)$	$1$	$1/36$

Jumlah $7$ paling mungkin karena dihasilkan oleh $6$ pasangan berurutan. Sebaliknya, jumlah $2$ dan $12$ masing-masing hanya berasal dari satu pasangan. Perbedaan ini penting saat sebuah permainan atau model memakai jumlah dari kedua dadu.

Membandingkan Hasil dan Risiko

Distribusi peluang memasangkan setiap hasil yang mungkin dengan nilai peluangnya. Angka-angka tersebut dapat dipakai untuk beberapa tugas berikut:

Membandingkan hasil: Jumlah $7$ memiliki peluang lebih besar daripada jumlah $12$ .
Menganalisis permainan: Pada permainan yang memakai dadu, distribusi menunjukkan langkah atau jumlah yang lebih sering terjadi, meskipun hasil satu lemparan tetap tidak pasti.
Membuat prediksi: Distribusi dapat merangkum ketidakpastian, misalnya peluang hujan dalam suatu model cuaca.
Mendukung keputusan: Sains dan bisnis memakai distribusi peluang untuk membandingkan risiko dan hasil yang diharapkan dengan bukti dari data.

Semua penggunaan itu memakai struktur yang sama: himpunan hasil yang terdefinisi dan nilai peluang untuk setiap hasil.

Latihan

Tiga koin adil dilempar, dan $X$ menyatakan banyak sisi gambar yang muncul. Tuliskan dulu semua hasil yang mungkin, lalu kelompokkan berdasarkan banyaknya sisi gambar supaya setiap nilai $X$ punya peluang yang jelas. Susun distribusi peluang $X$ , periksa bahwa distribusinya valid, lalu tentukan $P(X \geq 2)$ .

Pembahasan

Gunakan $1$ untuk sisi gambar dan $0$ untuk sisi angka. Tiga lemparan menghasilkan $2^3=8$ tripel terurut yang sama mungkin:

\Omega=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)\}

Hitung urutan hasil yang memuat $0,1,2$ atau $3$ sisi gambar:

Banyak sisi gambar $x$	Urutan hasil	Banyaknya	$P(X=x)$
$0$	$(0,0,0)$	$1$	$1/8$
$1$	$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$	$3$	$3/8$
$2$	$(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$	$3$	$3/8$
$3$	$(1,1,1)$	$1$	$1/8$

Setiap peluang berada di antara $0$ dan $1$ , sedangkan jumlah seluruh peluang adalah

\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1

Jadi, distribusinya valid. Sedikitnya dua sisi gambar berarti $X=2$ atau $X=3$ , sehingga

P(X \geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}

Dengan menuliskan ruang sampel terlebih dahulu, distribusi dapat diperiksa langsung: setiap satu dari $8$ urutan hasil muncul di tepat satu baris.