Kejadian Beririsan A dan B

Hasil Percobaan yang Termasuk dalam Dua Kejadian

Kejadian saling lepas tidak dapat terjadi bersamaan dalam satu percobaan. Sebaliknya, dua kejadian tidak saling lepas jika keduanya dapat terjadi pada hasil yang sama.

Dalam bahasa himpunan, setidaknya ada satu hasil yang menjadi anggota kejadian $A$ dan kejadian $B$.

Dua contoh:

1. Ambil Kartu: Kamu ambil satu kartu dari tumpukan kartu bridge.

   • Kejadian $A$: Dapat kartu Hati ($\heartsuit$).
   • Kejadian $B$: Dapat kartu King. Kartu King Hati ($K\heartsuit$) menjadi anggota kedua kejadian. Karena itu, kejadian $A$ dan kejadian $B$ tidak saling lepas.

2. Lempar Dadu (satu kali):

   • Kejadian $A$: Dapat angka genap ($\{2, 4, 6\}$).
   • Kejadian $B$: Dapat angka lebih dari $3$ ($\{4, 5, 6\}$). Hasil $4$ dan $6$ menjadi anggota kedua kejadian. Karena itu, kejadian $A$ dan kejadian $B$ tidak saling lepas.

Irisan Kejadian yang Bertumpang Tindih

Pada kejadian tidak saling lepas, sebagian hasil dapat menjadi anggota $A$ sekaligus $B$. Hasil yang sama ini membentuk irisan $A \cap B$.

Definisinya terletak pada himpunan hasil: kedua kejadian tidak saling lepas jika irisannya tidak kosong.

Pada ruang sampel berhingga dengan setiap hasil dasar berpeluang positif, irisan yang tidak kosong juga memiliki peluang positif:

Pada kejadian saling lepas, peluang irisannya adalah $P(A \cap B) = 0$.

Menghitung Peluang Gabungan

Karena $A$ dan $B$ dapat terjadi bersamaan, kita tidak boleh langsung menjumlahkan $P(A) + P(B)$ untuk mencari $P(A \text{ atau } B)$.

Penjumlahan langsung akan menghitung irisan $A \cap B$ dua kali, sekali dalam $P(A)$ dan sekali dalam $P(B)$.

Karena itu, peluang irisan harus dikurangkan satu kali. Hasilnya adalah aturan penjumlahan umum:

Dengan simbol gabungan dan irisan:

Rumus ini berlaku pada kedua keadaan. Untuk kejadian saling lepas, $P(A \cap B)=0$, sehingga rumus penjumlahan peluang menjadi $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Peluang Mendapat Kartu Hati atau Raja

Gunakan kembali contoh kartu:

• Kejadian $A$: Dapat kartu Hati ($\heartsuit$). Ada $13$ kartu Hati dari $52$ kartu. $P(A) = 13/52$.
• Kejadian $B$: Dapat kartu King. Ada $4$ kartu King dari $52$ kartu. $P(B) = 4/52$.
• Kejadian $A$ dan B: Dapat kartu King Hati ($K\heartsuit$). Hanya ada $1$ kartu King Hati. $P(A \cap B) = 1/52$.

Maka, peluang mendapat kartu Hati atau kartu King adalah:

Pengurangan $1/52$ mencegah kartu King Hati dihitung dua kali.

Latihan

Sebuah dadu adil bersisi enam dilempar satu kali. Misalkan $A=\{2,4,6\}$ adalah kejadian “hasilnya genap” dan $B=\{5,6\}$ adalah kejadian “hasilnya lebih dari $4$.”

1. Jelaskan mengapa $A$ dan $B$ tidak saling lepas.
2. Tentukan $P(A \cup B)$ dengan aturan penjumlahan umum.
3. Pastikan nilai $P(A \cup B)$ benar dengan menuliskan anggota gabungan kedua kejadian.

Pembahasan

Irisannya memuat satu hasil yang sama, yaitu $6$:

Jadi, kedua kejadian tidak saling lepas. Peluang setiap kejadian dan peluang irisannya adalah

Terapkan aturan penjumlahan umum:

Jika didaftar langsung, gabungannya adalah $A \cup B=\{2,4,5,6\}$. Ada $4$ hasil dari $6$ kemungkinan, sehingga cara kedua juga menghasilkan $2/3$.