Akar Tak Real Persamaan Kuadrat

Memperluas Bilangan Real

Kita mulai dari persamaan berikut:

x^2+1=0

Agar persamaan ini terpenuhi, $x^2$ harus sama dengan $-1$ . Tidak ada bilangan real yang kuadratnya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai solusi real. Kita memperluas sistem bilangan dengan satuan imajiner $i$ yang memenuhi definisi berikut:

i^2=-1

Bilangan kompleks berbentuk

z=a+bi\qquad(a,b\in\mathbb R)

Bilangan $2+5i$ merupakan bilangan kompleks. Bilangan itu tidak murni imajiner karena bagian realnya tidak nol. Sementara itu, bilangan seperti $3i$ murni imajiner.

Diskriminan Negatif

Untuk persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan koefisien real, diskriminannya adalah

D=b^2-4ac

Jika $D<0$ , persamaan tidak mempunyai akar real. Persamaan tersebut mempunyai dua akar kompleks tak real yang berbeda dan keduanya membentuk pasangan konjugat.

Kita tetap memulai dengan rumus kuadrat:

x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

Karena $D<0$ , tulis $D=-|D|$ . Dengan demikian,

\sqrt D=\sqrt{-|D|}=i\sqrt{|D|}

Menentukan dan Mengelompokkan Akar Tak Real

Begitu diskriminannya negatif, kamu meninggalkan bilangan real dan memakai $i$ . Kedua akarnya menjadi pasangan konjugat yang jumlah dan hasil kalinya tetap real.

Diskriminan negatif menentukan bentuk kedua akar tak real dan menunjukkan bahwa keduanya membentuk pasangan konjugat.

Menentukan Dua Akar Tak Real

Selesaikan

x^2+4x+5=0

Koefisiennya adalah $a=1$ , $b=4$ , dan $c=5$ . Hitung diskriminannya terlebih dahulu:

D=4^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4

Karena $D=-4<0$ , kedua akarnya tak real. Substitusikan nilainya ke rumus kuadrat:

x=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2\cdot1}

Jadi,

\begin{aligned} &x_1=-2+i \\ &\text{dan} \\ &x_2=-2-i \end{aligned}

Kita dapat memeriksa salah satu akar secara langsung:

(-2+i)^2+4(-2+i)+5

Akar lainnya diperoleh dengan mengubah tanda bagian imajinernya.

Mengelompokkan Akar Sebelum Menyelesaikan Persamaan

Perhatikan persamaan

2x^2+x+3=0

Di sini $a=2$ , $b=1$ , dan $c=3$ . Diskriminannya adalah

D=1^2-4\cdot2\cdot3=1-24=-23

Diskriminan negatif menunjukkan bahwa persamaan mempunyai dua akar kompleks tak real. Nilai eksaknya adalah

x=\frac{-1\pm\sqrt{-23}}{2\cdot2}

Dengan demikian,

\begin{aligned} &x_1=\frac{-1+i\sqrt{23}}4 \\ &\text{dan} \\ &x_2=\frac{-1-i\sqrt{23}}4 \end{aligned}

Makna pada Grafik Real

Persamaan pada contoh pertama dapat ditulis ulang sebagai

f(x)=x^2+4x+5=(x+2)^2+1

Untuk setiap $x$ real, nilai $(x+2)^2$ tidak negatif, sehingga $f(x)\ge1$ . Grafik selalu berada di atas sumbu $x$ dan tidak memotongnya. Akar kompleks bukan titik potong tambahan pada grafik real ini. Akar tersebut berada dalam sistem bilangan yang lebih luas.

Mengapa Akar Membentuk Pasangan Konjugat

Untuk koefisien real, rumus kuadrat memuat

-b\pm i\sqrt{|D|}

Kedua pilihan tanda hanya mengubah bagian imajiner. Hasilnya berbentuk $u+vi$ dan $u-vi$ yang disebut konjugat kompleks. Jika salah satunya merupakan akar polinom berkoefisien real, konjugatnya juga merupakan akar.

Latihan

Soal ini meminta penyelesaian dalam bilangan kompleks, sehingga akar dari bilangan negatif boleh dihitung. Tuliskan $i$ secara eksplisit lalu kumpulkan bagian real dan imajiner di akhir.

Selesaikan $2x^2+2x+5=0$ dalam bilangan kompleks.

Pembahasan Lengkap

Mulai dari diskriminan:

D=2^2-4\cdot2\cdot5=4-40=-36

Karena $D<0$ , gunakan $\sqrt{-36}=6i$ dalam rumus kuadrat:

x=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2\cdot2}

Jadi, pasangan akar konjugatnya adalah

\begin{aligned} &x_1=-\frac12+\frac32i \\ &\text{dan} \\ &x_2=-\frac12-\frac32i \end{aligned}

Jumlah kedua akar adalah $-1=-\frac ba$ dan hasil kalinya $\frac52=\frac ca$ . Keduanya sesuai dengan rumus Vieta sehingga hasilnya terkonfirmasi.