Faktorisasi Persamaan Kuadrat

Menentukan Akar Persamaan dari Bentuk Perkalian

Faktorisasi menulis ulang persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ sebagai suatu perkalian. Jika persamaan dapat ditulis sebagai $a(x - p)(x - q) = 0$, bilangan $p$ dan $q$ adalah akar-akarnya.

Akar persamaan adalah nilai $x$ yang membuat persamaan bernilai nol. Pada bentuk perkalian, tentukan akar dengan menyamakan setiap faktor dengan nol.

Prinsip Dasar Faktorisasi

Persamaan kuadrat dalam bentuk standar ditulis sebagai:

Pada bentuk ini, $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta dengan $a \neq 0$.

Faktorisasi menggunakan sifat hasil kali nol: jika suatu perkalian bernilai nol, setidaknya satu faktornya harus bernilai nol.

Ini berarti jika $(x - p)(x - q) = 0$, maka:

• $x - p = 0$ atau $x - q = 0$
• Sehingga $x = p$ atau $x = q$

Langkah Faktorisasi Persamaan Kuadrat

Untuk persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan koefisien bulat, faktorisasi melalui pengelompokan mengikuti langkah berikut:

1. Pastikan persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $ac$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b$
3. Pecah suku tengah dengan kedua bilangan tersebut, lalu faktorkan melalui pengelompokan
4. Tentukan akar-akar persamaan dari faktor-faktor tersebut

Contoh memfaktorkan persamaan kuadrat

Tiga contoh di bawah menaiki empat langkah yang sama: pertama dengan $a = 1$, lalu dengan konstanta negatif, lalu dengan $a \neq 1$. Perhatikan pasangan faktor yang hasil kalinya $ac$ dan jumlahnya $b$ pada masing-masing contoh.

1. Memfaktorkan persamaan:

   $$x^2 + 5x + 6 = 0$$

   Pada persamaan ini, $a = 1$, $b = 5$, dan $c = 6$.

   Langkah 1: Persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol.

   Langkah 2: Kita perlu mencari dua bilangan yang:

   • Jika dikalikan menghasilkan $ac = 1 \times 6 = 6$
   • Jika dijumlahkan menghasilkan $b = 5$

   Faktor-faktor dari $6$ adalah $1$, $2$, $3$, dan $6$. Pasangan faktor yang mungkin adalah $(1, 6)$ dan $(2, 3)$. Pasangan $(2, 3)$ memberikan jumlah $5$, sesuai dengan nilai $b$.

   Langkah 3: Kita dapat menulis persamaan sebagai:

   $$x^2 + 2x + 3x + 6 = 0$$

   $$x(x + 2) + 3(x + 2) = 0$$

   $$(x + 3)(x + 2) = 0$$

   Langkah 4: Dari bentuk faktor di atas, kita mendapatkan:

   • $x + 3 = 0$ → $x = -3$
   • $x + 2 = 0$ → $x = -2$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -3$ dan $x = -2$.

2. Memfaktorkan persamaan:

   $$3x^2 + 13x - 10 = 0$$

   Pada persamaan ini, $a = 3$, $b = 13$, dan $c = -10$.

   Langkah 1: Persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol.

   Langkah 2: Kita perlu mencari dua bilangan yang:

   • Jika dikalikan menghasilkan $ac = 3 \times (-10) = -30$
   • Jika dijumlahkan menghasilkan $b = 13$

   Faktor-faktor dari $-30$ adalah pasangan bilangan yang berlawanan tanda:

   $$\begin{aligned} &(1, -30), \; (-1, 30), \; (2, -15), \\ &\; (-2, 15), \\ &(3, -10), \; (-3, 10), \; (5, -6), \\ &\; (-5, 6) \end{aligned}$$

   Pasangan $(15, -2)$ memberikan jumlah $13$, sesuai dengan nilai $b$.

   Langkah 3: Kita dapat menulis persamaan sebagai:

   $$3x^2 + 15x - 2x - 10 = 0$$

   Kita dapat mengelompokkan keempat suku persamaan itu menjadi dua pasangan:

   $$3x^2 + 15x - 2x - 10 = 0$$

   $$3x(x + 5) - 2(x + 5) = 0$$

   $$(3x - 2)(x + 5) = 0$$

   Langkah 4: Dari bentuk faktor di atas, kita mendapatkan:

   • $3x - 2 = 0$ → $x = \frac{2}{3}$
   • $x + 5 = 0$ → $x = -5$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = \frac{2}{3}$ dan $x = -5$.

3. Faktorisasi Ketika Koefisien $a \neq 1$

   Ketika koefisien $a$ tidak sama dengan $1$, kita perlu sedikit modifikasi dalam langkah-langkah faktorisasi. Ada beberapa pendekatan:

   Metode Faktor dari $ac$

   1. Tentukan nilai $ac$
   2. Cari pasangan faktor dari $ac$ yang jika dijumlahkan menghasilkan $b$
   3. Gunakan pasangan faktor untuk memisahkan suku $bx$ menjadi dua suku
   4. Faktorkan dengan pengelompokan

   Contoh Faktorisasi:

   $$2x^2 + 5x - 3 = 0$$

   Pada persamaan ini, $a = 2$, $b = 5$, dan $c = -3$.

   Langkah 1: Hitung $ac = 2 \times (-3) = -6$

   Langkah 2: Cari pasangan faktor dari $-6$ yang jika dijumlahkan menghasilkan $5$:

   Faktor-faktor dari $-6$: $(1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3)$

   Pasangan $(6, -1)$ memberikan jumlah $5$, sesuai dengan nilai $b$.

   Langkah 3: Pisahkan suku $5x$ menjadi $6x - x$:

   $$2x^2 + 6x - x - 3 = 0$$

   Langkah 4: Faktorkan dengan pengelompokan:

   $$2x^2 + 6x - x - 3 = 0$$

   $$2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0$$

   $$(2x - 1)(x + 3) = 0$$

   Langkah 5: Tentukan akar-akar persamaan:

   • $2x - 1 = 0$ → $x = \frac{1}{2}$
   • $x + 3 = 0$ → $x = -3$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = \frac{1}{2}$ dan $x = -3$.

Cara Cepat Saat Salah Satu Akar Diketahui

Jika kita mengetahui salah satu akar dari persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan informasi ini untuk menemukan faktorisasi lengkap.

Contoh: Salah satu akar dari persamaan $2x^2 - bx - 6 = 0$ adalah $6$

Jika $x = 6$ adalah akar persamaan, maka $(x - 6)$ adalah salah satu faktornya.

Substitusikan $x = 6$ ke persamaan awal:

Sekarang kita dapat menulis persamaan sebagai $2x^2 - 11x - 6 = 0$.

Menggunakan metode faktorisasi, kita memfaktorkannya sebagai:

Akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{1}{2}$ dan $x = 6$.

Kasus Khusus Faktorisasi

1. Bentuk $ax^2 + bx = 0$

   Untuk persamaan tanpa konstanta, kita dapat memfaktorkan $x$ langsung:

   $$ax^2 + bx = 0$$

   $$x(ax + b) = 0$$

   Akar-akarnya adalah $x = 0$ dan $x = -\frac{b}{a}$.

   Contoh: $2x^2 - 18x = 0$

   $$2x^2 - 18x = 0$$

   $$2x(x - 9) = 0$$

   Akar-akarnya adalah $x = 0$ dan $x = 9$.

2. Bentuk $ax^2 - c = 0$

   Untuk persamaan tanpa suku $x$, pisahkan dahulu $x^2$. Di dalam bilangan real, langkah penarikan akar mensyaratkan $\frac{c}{a}\ge0$:

   $$ax^2 - c = 0$$

   $$ax^2 = c$$

   $$x^2 = \frac{c}{a}$$

   $$x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}$$
   • Jika $\frac{c}{a}>0$, terdapat dua akar real berbeda dan bentuk tersebut dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear real.
   • Jika $\frac{c}{a}=0$, $x=0$ merupakan akar kembar.
   • Jika $\frac{c}{a}<0$, tidak ada akar real maupun faktorisasi menjadi faktor-faktor linear real. Di dalam bilangan kompleks, akar-akarnya adalah $x=\pm i\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

   Contoh: $2x^2 - 18 = 0$

   $$2x^2 - 18 = 0$$

   $$2x^2 = 18$$

   $$x^2 = 9$$

   $$x = \pm 3$$

   Akar-akarnya adalah $x = 3$ dan $x = -3$.

   Contoh akar kompleks: $2x^2 + 18 = 0$

   $$2x^2 + 18 = 0$$

   $$2x^2 = -18$$

   $$x^2 = -9$$

   Akar-akarnya adalah $x = 3i$ dan $x = -3i$. Cek dengan rumus di atas: $c/a = -9$ sehingga $x = \pm i\sqrt{9} = \pm 3i$.

Ketika Pasangan Faktor Bulat Tidak Ditemukan

Tidak semua persamaan kuadrat mempunyai faktor rasional. Jika tidak ada pasangan faktor yang sesuai, gunakan metode lain seperti rumus kuadrat:

Untuk koefisien bulat, persamaan kuadrat mempunyai akar rasional tepat ketika diskriminan $b^2 - 4ac$ merupakan bilangan kuadrat sempurna yang tidak negatif.

Latihan Soal

Setiap persamaan harus diubah ke bentuk faktor lebih dahulu, jadi carilah dua faktor yang hasil kalinya sama dengan suku konstanta. Setelah itu akar-akarnya bisa dibaca langsung dari kedua faktor tersebut.

Faktorkan persamaan-persamaan kuadrat berikut:

1. $x^2 + 6x + 5 = 0$
2. $2x^2 + 5x + 2 = 0$
3. $3x^2 - x - 2 = 0$
4. $2x^2 - 8x + 6 = 0$
5. $x^2 - 9 = 0$

Pembahasan Lengkap

1. $x^2 + 6x + 5 = 0$

   Langkah 1: Identifikasi koefisien

   $$a = 1, b = 6, c = 5$$

   Langkah 2: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $ac = 5$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b = 6$

   Pilih faktor dari $5$ dengan jumlah yang diperlukan:

   $$\begin{aligned} &1\times5=5 \\ &1+5=6 \end{aligned}$$

   Langkah 3: Faktorisasi

   $$x^2 + 6x + 5 = 0$$

   $$x^2 + x + 5x + 5 = 0$$

   $$x(x + 1) + 5(x + 1) = 0$$

   $$(x + 5)(x + 1) = 0$$

   Langkah 4: Tentukan akar-akar persamaan

   $$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$$

   $$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -5$ dan $x = -1$.

2. $2x^2 + 5x + 2 = 0$

   Langkah 1: Identifikasi koefisien

   $$a = 2, b = 5, c = 2$$

   Langkah 2: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $ac = 2 \times 2 = 4$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b = 5$

   Pilih faktor dari $4$ dengan jumlah yang diperlukan:

   $$\begin{aligned} &1\times4=4 \\ &1+4=5 \end{aligned}$$

   Langkah 3: Faktorisasi

   $$2x^2 + 5x + 2 = 0$$

   $$2x^2 + x + 4x + 2 = 0$$

   $$x(2x + 1) + 2(2x + 1) = 0$$

   $$(2x + 1)(x + 2) = 0$$

   Langkah 4: Tentukan akar-akar persamaan

   $$2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$$

   $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{1}{2}$ dan $x = -2$.

3. $3x^2 - x - 2 = 0$

   Langkah 1: Identifikasi koefisien

   $$a = 3, b = -1, c = -2$$

   Langkah 2: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $ac = 3 \times (-2) = -6$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b = -1$

   Pilih faktor dari $-6$ dengan jumlah yang diperlukan:

   $$\begin{aligned} &(-3)\times2=-6 \\ &(-3)+2=-1 \end{aligned}$$

   Langkah 3: Faktorisasi

   $$3x^2 - x - 2 = 0$$

   $$3x^2 - 3x + 2x - 2 = 0$$

   $$3x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$$

   $$(3x + 2)(x - 1) = 0$$

   Langkah 4: Tentukan akar-akar persamaan

   $$3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$

   $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{2}{3}$ dan $x = 1$.

4. $2x^2 - 8x + 6 = 0$

   Langkah 1: Identifikasi koefisien

   $$a = 2, b = -8, c = 6$$

   Langkah 2: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $ac = 2 \times 6 = 12$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b = -8$

   Pilih faktor dari $12$ dengan jumlah yang diperlukan:

   $$\begin{aligned} &(-6)\times(-2)=12 \\ &(-6)+(-2)=-8 \end{aligned}$$

   Langkah 3: Faktorisasi

   $$2x^2 - 8x + 6 = 0$$

   $$2x^2 - 6x - 2x + 6 = 0$$

   $$2x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$$

   $$(2x - 2)(x - 3) = 0$$

   $$2(x - 1)(x - 3) = 0$$

   Langkah 4: Tentukan akar-akar persamaan

   $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$

   $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = 1$ dan $x = 3$.

5. $x^2 - 9 = 0$

   Langkah 1: Identifikasi sebagai bentuk selisih kuadrat

   $$x^2 - 9 = x^2 - 3^2$$

   Langkah 2: Gunakan rumus selisih kuadrat $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

   $$x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3) = 0$$

   Langkah 3: Tentukan akar-akar persamaan

   $$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$

   $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -3$ dan $x = 3$.