Melengkapi Kuadrat Sempurna

Mengubah Persamaan ke Bentuk Kuadrat Sempurna

Melengkapi kuadrat sempurna menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubah bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ menjadi $(x + p)^2 = q$. Metode ini tetap dapat digunakan ketika persamaan sulit difaktorkan dengan bilangan bulat.

Bentuk kuadrat sempurna mengikuti pola $x^2 + 2px + p^2 = (x + p)^2$. Setelah ruas kiri menjadi kuadrat, akar persamaan dapat ditentukan dengan menarik akar kedua ruas. Jika suku tengahnya $2px$, tambahkan suku $p^2$ untuk melengkapi kuadrat.

Persamaan yang Sulit Difaktorkan

Faktorisasi rasional untuk $x^2 + 4x + 2 = 0$ memerlukan dua bilangan dengan hasil kali $2$ dan jumlah $4$. Pasangan bilangan rasional seperti itu tidak ada.

Melengkapi kuadrat menghasilkan persamaan yang setara beserta akar-akarnya tanpa memerlukan pasangan bilangan rasional tersebut.

Langkah Melengkapi Kuadrat Sempurna

Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan metode melengkapi kuadrat sempurna:

1. Pastikan koefisien $x^2$ bernilai $1$

   Jika koefisien $a$ dari $x^2$ tidak sama dengan $1$, kita harus membagi seluruh persamaan dengan nilai $a$.

   Contoh: Untuk persamaan $2x^2 + 6x + 3 = 0$

   $$\frac{2x^2 + 6x + 3}{2} = \frac{0}{2}$$

   $$x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$$

2. Pindahkan Konstanta ke Ruas Kanan

   Pindahkan suku konstanta ke ruas kanan persamaan.

   Contoh: Dari persamaan $x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$

   $$x^2 + 3x = -\frac{3}{2}$$

3. Tambahkan Suku Pelengkap Kuadrat ke Kedua Ruas

   Tambahkan $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ ke kedua ruas persamaan. Nilai ini adalah kuadrat dari setengah koefisien $x$.

   Contoh: Untuk persamaan $x^2 + 3x = -\frac{3}{2}$

   Setengah dari koefisien $x$ adalah $\frac{3}{2}$

   Kuadrat dari nilai tersebut: $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

   Tambahkan ke kedua ruas:

   $$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

4. Faktorkan Ruas Kiri Menjadi Bentuk Kuadrat Sempurna

   Ruas kiri sekarang memiliki bentuk $x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$, yang dapat difaktorkan menjadi $\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$.

   Contoh: Dari persamaan $x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$

   $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

5. Sederhanakan Ruas Kanan

   Samakan penyebut pecahan pada ruas kanan, lalu jumlahkan pembilangnya.

   Contoh: Untuk $\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$

   $$-\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}$$

   Sehingga persamaan menjadi:

   $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$

6. Ambil Akar Kuadrat dari Kedua Ruas

   Untuk menghilangkan kuadrat, ambil akar kuadrat dari kedua ruas.

   Contoh: Dari persamaan $\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

   $$x + \frac{3}{2} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

7. Isolasi Variabel

   Isolasi variabel $x$ untuk mendapatkan akar-akar persamaan.

   Contoh: Dari $x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

   Untuk tanda positif:

   $$x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Untuk tanda negatif:

   $$x = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Setiap persamaan di bawah diselesaikan dengan mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna. Persamaan pertama berkoefisien utama satu, dan contoh berikutnya membagi dengan koefisien lebih dulu.

Persamaan dengan Koefisien Utama Satu

Selesaikan persamaan: $x^2 + 5x + 6 = 0$

Langkah 1: Koefisien $a = 1$, jadi kita langsung ke langkah berikutnya.

Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan.

Langkah 3: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas.

Langkah 4: Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Langkah 5: Sederhanakan ruas kanan.

Langkah 6: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas.

Langkah 7: Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$.

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -2$ dan $x = -3$.

Persamaan dengan Koefisien Utama Bukan Satu

Selesaikan persamaan: $2x^2 + 6x + 3 = 0$

Langkah 1: Bagi semua suku dengan koefisien $a = 2$

Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan

Langkah 3: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas

Langkah 4: Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna

Langkah 5: Sederhanakan ruas kanan

Langkah 6: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas

Langkah 7: Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pemeriksaan Kesalahan Umum

Dua pemeriksaan berikut mencakup langkah yang paling sering terlewat. Setiap pemeriksaan menyebut langkah dan nilai yang harus dicek.

1. Untuk persamaan dengan koefisien $x^2$ bukan $1$: Selalu bagi seluruh persamaan dengan koefisien $a$ terlebih dahulu. Contoh: $3x^2 + 6x + 2 = 0$ menjadi $x^2 + 2x + \frac{2}{3} = 0$

2. Konstanta yang ditambahkan: Selalu tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas. Contoh: Untuk $x^2 + 8x = 5$, tambahkan $\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$ ke kedua ruas.

3. Bentuk akhir: Persamaan akan berubah menjadi bentuk $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$. Contoh: $x^2 + 6x + 8 = 0$ menjadi $\left(x + 3\right)^2 = 1$

Kasus Khusus dan Variasi

Diskriminan negatif membuat akarnya berisi bilangan imajiner, sedangkan bentuk kuadrat sempurna menyisakan satu akar kembar. Kedua kasus itu mengubah banyaknya akar yang harus kamu laporkan.

Tidak semua persamaan kuadrat menghasilkan dua akar real.

Ketika Diskriminan Negatif

Jika $b^2 - 4ac < 0$, maka persamaan tidak memiliki akar real.

Contoh konkret: $x^2 + 2x + 2 = 0$

Dengan melengkapi kuadrat sempurna:

Tambahkan $1$ pada kedua ruas:

Karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya $-1$, maka persamaan ini tidak memiliki akar real.

Pada Persamaan Kuadrat Tidak Lengkap

Untuk persamaan bentuk $ax^2 + c = 0$, kita tidak perlu melengkapi kuadrat sempurna.

Contoh konkret: $3x^2 - 12 = 0$

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = 2$ dan $x = -2$.

Latihan Soal

Melengkapi kuadrat mengubah persamaan sampai ruas kirinya menjadi kuadrat sempurna. Tuliskan setiap langkah, karena letak titik puncaknya bisa dibaca langsung dari bentuk akhirnya.

Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dengan metode melengkapi kuadrat sempurna:

1. $x^2 + 5x + 6 = 0$
2. $2x^2 + 6x + 3 = 0$
3. $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$
4. $x^2 - 12x - 15 = 0$
5. $\frac{3}{2}x^2 - 8x - 6 = 0$

Kunci Jawaban

1. $x^2 + 5x + 6 = 0$

   1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 + 5x = -6$$

   2. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      $$\text{Setengah koefisien } x = \frac{5}{2}$$

      $$\begin{aligned} &\text{Kuadrat dari nilai tersebut} \\ &= \left(\frac{5}{2}\right)^2 \\ &= \frac{25}{4} \end{aligned}$$

      $$x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}$$

   3. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = -6 + \frac{25}{4}$$

   4. Sederhanakan ruas kanan:

      $$-6 + \frac{25}{4} = \frac{-24 + 25}{4} = \frac{1}{4}$$

      $$\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

   5. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x + \frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}$$

   6. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$x + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{atau} \quad x + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$$

      $$\begin{aligned} &x = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -2 \\ &\text{atau} \\ &x = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3 \end{aligned}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -2$ dan $x = -3$.

2. $2x^2 + 6x + 3 = 0$

   1. Bagi semua suku dengan koefisien $a = 2$:

      $$x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$$

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 + 3x = -\frac{3}{2}$$

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      $$\text{Setengah koefisien } x = \frac{3}{2}$$

      $$\begin{aligned} &\text{Kuadrat dari nilai tersebut} \\ &= \left(\frac{3}{2}\right)^2 \\ &= \frac{9}{4} \end{aligned}$$

      $$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      $$-\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}$$

      $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$\begin{aligned} &x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\text{atau} \\ &x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$

   1. Bagi semua suku dengan koefisien $a = 6$:

      $$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = 0$$

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 + \frac{1}{3}x = -\frac{1}{36}$$

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      $$\text{Setengah koefisien } x = \frac{1}{6}$$

      $$\begin{aligned} &\text{Kuadrat dari nilai tersebut} \\ &= \left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ &= \frac{1}{36} \end{aligned}$$

      $$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = -\frac{1}{36} + \frac{1}{36}$$

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 = -\frac{1}{36} + \frac{1}{36}$$

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      $$\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 = 0$$

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x + \frac{1}{6} = 0$$

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$x = -\frac{1}{6}$$

   Jadi, persamaan ini memiliki satu akar (akar ganda), yaitu $x = -\frac{1}{6}$.

4. $x^2 - 12x - 15 = 0$

   1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 - 12x = 15$$

   2. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      Setengah koefisien $x$ adalah $-6$.

      $$\begin{aligned} &\text{Kuadrat dari nilai tersebut} \\ &= (-6)^2 \\ &= 36 \end{aligned}$$

      $$x^2 - 12x + 36 = 15 + 36$$

   3. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$(x - 6)^2 = 51$$

   4. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x - 6 = \pm\sqrt{51}$$

   5. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$x = 6 \pm \sqrt{51}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = 6 + \sqrt{51}$ dan $x = 6 - \sqrt{51}$.

5. $\frac{3}{2}x^2 - 8x - 6 = 0$

   1. Bagi semua suku dengan koefisien $a = \frac{3}{2}$:

      $$x^2 - \frac{16}{3}x - 4 = 0$$

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 - \frac{16}{3}x = 4$$

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      Setengah koefisien $x$ adalah $-\frac83$.

      $$\begin{aligned} &\text{Kuadrat dari nilai tersebut} \\ &= \left(-\frac{8}{3}\right)^2 \\ &= \frac{64}{9} \end{aligned}$$

      $$x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{64}{9} = 4 + \frac{64}{9}$$

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 = 4 + \frac{64}{9}$$

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      $$4 + \frac{64}{9} = \frac{36 + 64}{9} = \frac{100}{9}$$

      $$\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 = \frac{100}{9}$$

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x - \frac{8}{3} = \pm\frac{10}{3}$$

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$\begin{aligned} &x = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} = 6 \\ &\text{atau} \\ &x = \frac{8}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{2}{3} \end{aligned}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = 6$ dan $x = -\frac{2}{3}$.