Menentukan Luas Maksimum

Luas Persegi Panjang dengan Panjang Pagar Tetap

Masalah optimasi mencari nilai terbaik yang tetap memenuhi syarat pada soal. Pagar dengan panjang tetap, misalnya, dapat membentuk banyak persegi panjang dengan luas berbeda. Nyatakan luas sebagai fungsi kuadrat untuk membandingkan semua ukuran sisi yang dapat dibuat dengan panjang pagar tersebut.

Nyatakan satu ukuran berdasarkan ukuran lainnya, substitusikan hubungan tersebut ke rumus luas, lalu gunakan titik puncak parabola untuk menentukan ukuran dengan luas terbesar. Langkah yang sama dapat digunakan pada masalah persegi panjang lain yang panjang kelilingnya sudah ditentukan.

Mengapa fungsi kuadrat terbuka ke bawah memiliki maksimum

Fungsi kuadrat memiliki bentuk

Ketika $a<0$, grafiknya terbuka ke bawah. Titik puncak menjadi titik tertinggi pada grafik. Jika titik puncak berada di dalam domain yang diperbolehkan, nilai fungsinya merupakan nilai maksimum.

Menentukan titik puncak

Untuk $f(x)=ax^2+bx+c$, koordinat titik puncak ditentukan dengan

Bentuk ekuivalen yang menggunakan diskriminan adalah

Perhitungan aljabar menentukan titik puncak, sedangkan konteks menentukan apakah titik itu dapat digunakan. Panjang tidak boleh negatif, jumlah barang mungkin harus berupa bilangan bulat, dan waktu harus berada dalam selang yang dijelaskan oleh model.

Luas Maksimum Kandang Ayam Persegi Panjang

Seorang petani memiliki pagar sepanjang $20\text{ m}$ dan ingin membuat kandang ayam berbentuk persegi panjang. Ukuran berapa yang menghasilkan luas terbesar?

1. Namai kedua ukuran. Misalkan panjangnya $p\text{ m}$ dan lebarnya $l\text{ m}$.

2. Tulis keliling sebagai persamaan.

   $$2p+2l=20$$

   $$p+l=10$$

   $$p=10-l$$

3. Susun fungsi luas dengan satu variabel.

   $$A=p\cdot l$$

   $$A(l)=(10-l)l$$

   $$A(l)=10l-l^2$$

   $$A(l)=-l^2+10l$$

4. Nyatakan domain yang diperbolehkan. Kedua sisi harus positif, sehingga $0<l<10$. Koefisien $a=-1$ bernilai negatif, jadi grafik luas terbuka ke bawah.

5. Tentukan titik puncak.

   $$l_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2(-1)}=\frac{-10}{-2}=5$$

6. Tentukan ukuran lainnya dan hitung luas.

   $$p=10-l=10-5=5$$

   $$A(5)=5\cdot5=25$$

7. Pastikan titik puncak memberi luas maksimum. Titik puncak berada di dalam $0<l<10$. Pada nilai batas, persegi panjang menjadi pipih dan luasnya mendekati $0$, sehingga titik puncak di bagian dalam memberi maksimum global.

Jadi, luas terbesarnya adalah $25\text{ m}^2$, yang diperoleh dari persegi berukuran $5\text{ m}\times5\text{ m}$.

Menentukan Domain Model dan Titik Puncak

Tabel mengumpulkan empat bagian yang mengubah soal pagar menjadi satu variabel. Setiap baris menyebut satu bagian soal beserta bentuk matematisnya.

Menerapkan Cara yang Sama pada Laba

Cara yang sama berlaku ketika suatu besaran mengikuti parabola terbuka ke bawah. Titik puncaknya memberi nilai terbesar, dan koordinat mendatarnya menunjukkan kondisi yang menghasilkan nilai itu.

Keuntungan produksi

Misalkan keuntungan dari penjualan $x$ mainan, dalam ribuan rupiah, dinyatakan oleh

Karena $a=-2<0$, model ini memiliki maksimum:

Model tersebut memprediksi keuntungan maksimum sebesar $\text{Rp }1\,250\,000$ ketika $25$ mainan terjual. Titik puncaknya sudah berupa bilangan bulat, sehingga kita tidak perlu membandingkan hasil pembulatan.

Ketinggian proyektil

Misalkan ketinggian roket mainan setelah $t\text{ s}$ dinyatakan oleh

Interval yang bermakna secara fisik diperoleh dari waktu ketika ketinggian bernilai nol:

Model tersebut dimulai di permukaan tanah ketika $t=0$ dan kembali ke permukaan tanah ketika $t=8$, sehingga domain waktu fisiknya adalah $0\le t\le8$. Di dalam interval tersebut, nilai maksimum terjadi saat

Roket mencapai ketinggian maksimum $80\text{ m}$ setelah $4\text{ s}$.

Latihan

Sebuah persegi panjang memiliki keliling $60\text{ cm}$. Tentukan panjang dan lebar yang memaksimalkan luasnya, lalu hitung luas maksimum tersebut. Tulis luas sebagai fungsi satu variabel, lalu cari titik puncak parabola itu.

Pembahasan lengkap

1. Misalkan panjangnya $p\text{ cm}$ dan lebarnya $l\text{ cm}$.

2. Gunakan persamaan keliling untuk menyatakan panjang berdasarkan lebar.

   $$2p+2l=60$$

   $$p+l=30$$

   $$p=30-l$$

3. Substitusikan ke rumus luas.

   $$A(l)=p\cdot l$$

   $$A(l)=(30-l)l$$

   $$A(l)=30l-l^2$$

   $$A(l)=-l^2+30l$$

4. Domain yang diperbolehkan adalah $0<l<30$, dan $a=-1<0$, sehingga titik puncak memberi nilai maksimum.

5. Tentukan lebar pada titik puncak.

   $$l_v=-\frac{30}{2(-1)}=\frac{-30}{-2}=15\text{ cm}$$

6. Tentukan panjang dan luas yang bersesuaian.

   $$p=30-l=30-15=15\text{ cm}$$

   $$A(15)=15\cdot15=225\text{ cm}^2$$

Luas maksimum adalah $225\text{ cm}^2$, yang diperoleh dari persegi berukuran $15\text{ cm}\times15\text{ cm}$.