Menentukan Luas Minimum

Nilai Terkecil yang Memenuhi Syarat Geometri

Pada masalah optimasi, hal yang dicari bisa berbeda. Produsen mungkin ingin menekan biaya, sedangkan suatu rancangan mungkin harus memakai luas total sekecil mungkin sambil tetap memenuhi syarat geometri. Langkah pemodelannya sama. Tulis syarat geometri sebagai persamaan, susun fungsi dengan satu variabel, lalu gunakan titik puncak untuk mencari nilai minimum yang masih memenuhi syarat tersebut.

Mencari minimum bukan berarti langsung memilih nol. Masalah semula menentukan nilai mana yang diperbolehkan, dan minimum harus berada di dalam domain tersebut.

Mengapa fungsi kuadrat terbuka ke atas memiliki minimum

Fungsi kuadrat memiliki bentuk

Ketika $a>0$, grafiknya terbuka ke atas. Titik puncak menjadi titik terendah pada grafik. Jika titik puncak berada di dalam domain yang diperbolehkan, nilai fungsinya merupakan nilai minimum.

Menentukan titik puncak

Untuk $f(x)=ax^2+bx+c$, gunakan

Bentuk ekuivalen yang menggunakan diskriminan adalah

Setelah menghitung titik puncak, selalu kembali ke konteks. Periksa domain, satuan, dan apakah variabel harus berupa bilangan bulat.

Luas Minimum dari Satu Kawat dan Dua Persegi

Kawat sepanjang $40\text{ cm}$ dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dibentuk menjadi sebuah persegi. Di mana kawat harus dipotong agar jumlah luas kedua persegi sekecil mungkin?

1. Namai panjang sisi. Misalkan sisi persegi pertama $x\text{ cm}$ dan sisi persegi kedua $y\text{ cm}$.

2. Tulis hubungan panjang kawat sebagai persamaan.

   $$4x+4y=40$$

   $$x+y=10$$

   $$y=10-x$$

3. Susun fungsi jumlah luas.

   $$A=x^2+y^2$$

   $$A(x)=x^2+(10-x)^2$$

   $$A(x)=x^2+(100-20x+x^2)$$

   $$A(x)=2x^2-20x+100$$

4. Nyatakan domain yang diperbolehkan. Kedua persegi harus memiliki sisi positif, sehingga $0<x<10$. Karena $a=2>0$, grafiknya terbuka ke atas.

5. Tentukan titik puncak.

   $$x_v=-\frac{-20}{2(2)}=\frac{20}{4}=5$$

6. Tentukan sisi kedua dan hitung jumlah luas.

   $$y=10-x=10-5=5$$

   $$A(5)=5^2+5^2=50$$

7. Tentukan panjang setiap potongan. Setiap persegi membutuhkan keliling $4(5)=20\text{ cm}$, sehingga kawat dipotong menjadi dua bagian sepanjang $20\text{ cm}$. Seluruh kawat $40\text{ cm}$ tetap digunakan. Yang diminimalkan hanya jumlah luas yang dikelilingi.

Jumlah luas minimum adalah $50\text{ cm}^2$, yang diperoleh ketika kedua persegi memiliki sisi $5\text{ cm}$.

Menentukan Domain Model dan Titik Puncak

Tabel mengumpulkan tiga bagian yang mengubah soal kawat menjadi satu variabel. Setiap baris menyebut satu bagian soal beserta bentuk matematisnya.

Penerapan Lain pada Biaya Produksi

Aplikasi biaya juga mencari titik terendah parabola, hanya saja koordinatnya berarti jumlah produksi dan biaya.

Misalkan biaya produksi $x$ barang, dalam ribuan rupiah, dinyatakan oleh

Karena $a=3>0$, model ini memiliki minimum:

Model tersebut memprediksi biaya minimum sebesar $\text{Rp }200\,000$ pada produksi $10$ barang. Sebelum memakai hasil ini, periksa apakah $10$ barang berada dalam domain model dan dapat diproduksi dengan kapasitas yang tersedia.

Latihan

Soal ini memberi keliling dan meminta persegi panjang terbesar, jadi kendalanya harus dipakai untuk mengganti variabel kedua. Tulis dulu luasnya sebagai fungsi satu variabel.

Jumlah dua bilangan positif adalah $16$. Tentukan kedua bilangan yang meminimalkan jumlah kuadratnya, lalu hitung jumlah minimum tersebut.

Pembahasan lengkap

1. Misalkan bilangan pertama $x$ dan bilangan kedua $y$.

2. Tulis hubungan kedua bilangan sebagai persamaan.

   $$x+y=16$$

   $$y=16-x$$

3. Susun fungsi tujuan.

   $$S=x^2+y^2$$

   $$S(x)=x^2+(16-x)^2$$

   $$S(x)=x^2+(256-32x+x^2)$$

   $$S(x)=2x^2-32x+256$$

4. Domain yang diperbolehkan adalah $0<x<16$, dan $a=2>0$, sehingga titik puncak memberi nilai minimum.

5. Tentukan bilangan pertama pada titik puncak.

   $$x_v=-\frac{-32}{2(2)}=\frac{32}{4}=8$$

6. Tentukan bilangan kedua dan hitung nilai fungsi tujuan.

   $$y=16-x=16-8=8$$

   $$S(8)=8^2+8^2=128$$

Kedua bilangan tersebut adalah $8$ dan $8$, sedangkan jumlah kuadrat minimumnya adalah $128$.