Menyusun Fungsi Kuadrat

Informasi yang Menentukan Bentuk Fungsi Kuadrat

Menyusun fungsi kuadrat berarti menentukan $f(x) = ax^2 + bx + c$ dari informasi yang diberikan. Titik-titik pada grafik menghasilkan sistem untuk koefisien, akar yang diketahui menghasilkan bentuk faktor, dan titik puncak yang diketahui menghasilkan bentuk puncak.

Berbagai Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dapat ditulis dalam tiga bentuk yang setara:

Bentuk Standar: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Bentuk Faktor: $f(x) = a(x - p)(x - q)$ jika akar real $p$ dan $q$ ada
Bentuk Vertex: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ , dengan $(h, k)$ sebagai titik puncak

Ketiga bentuk ini saling berhubungan dan dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Cara Menyusun Fungsi Kuadrat

Syarat yang diberikan menentukan cara paling singkat untuk menyusun fungsinya. Tiga titik, titik puncak bersama satu titik lain, dan kedua titik potong masing-masing memasok informasi yang tepat untuk salah satu dari tiga bentuk tersebut.

Fungsi kuadrat sudah tertentu setelah cukup banyak syarat diketahui.

Tiga Titik

Tiga titik dengan koordinat $x$ yang berbeda menentukan tepat satu polinom berderajat paling tinggi $2$ . Polinom tersebut merupakan fungsi kuadrat hanya jika koefisien yang dihasilkan memenuhi $a\neq0$ .

Jika kita memiliki tiga titik $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ , dan $(x_3, y_3)$ , kita dapat memasukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan standar untuk mendapatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel $a$ , $b$ , dan $c$ .

y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c

Contoh:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $K(-1, 0)$ , $L(0, -3)$ , dan $M(1, -4)$ .

Masukkan nilai koordinat ke dalam persamaan standar.

K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c

Sederhanakan persamaan-persamaan tersebut.

0 = a - b + c

Substitusi $c = -3$ ke persamaan pertama dan ketiga.

0 = a - b - 3

Sederhanakan dan jumlahkan kedua persamaan untuk menemukan nilai $a$ .

a - b = 3

Substitusi nilai $a$ ke persamaan $a - b = 3$ untuk menemukan nilai $b$ .

1 - b = 3

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Grafik

f(x) = x^2 - 2x - 3

Parabola yang melalui titik

K(-1, 0)

L(0, -3)

, dan

M(1, -4)

Titik Puncak

Jika kita mengetahui koordinat titik puncak $(h, k)$ dan satu titik lain $(p, q)$ pada grafik, kita dapat menggunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ untuk menemukan nilai $a$ .

Contoh:

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(2, 0)$ dan melalui titik $(4, 4)$ .

Gunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = 2$ dan $k = 0$ .

f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2

Substitusi titik $(4, 4)$ untuk menemukan nilai $a$ .

4 = a(4 - 2)^2

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

Grafik

f(x) = (x - 2)^2

Parabola dengan titik puncak

(2, 0)

dan melalui titik

(4, 4)

Akar dan Satu Titik Tambahan

Jika kita mengetahui akar-akar (titik potong dengan sumbu $x$ ) $p$ dan $q$ dari fungsi kuadrat, serta satu titik tambahan $(r, s)$ dengan $r\neq p$ , $r\neq q$ , dan $s\neq0$ , bentuk faktor $f(x) = a(x - p)(x - q)$ dapat digunakan untuk menentukan $a$ .

Contoh:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x = -2$ dan $x = 3$ , dan melalui titik $(1, -6)$ .

Gunakan bentuk faktor $f(x) = a(x - p)(x - q)$ dengan $p = -2$ dan $q = 3$ .

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-2))(x - 3) \\ &= a(x + 2)(x - 3) \end{aligned}

Substitusi titik $(1, -6)$ untuk menemukan nilai $a$ .

-6 = a(1 + 2)(1 - 3)

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

\begin{aligned} f(x) &= (x + 2)(x - 3) \\ &= x^2 - x - 6 \end{aligned}

Grafik

f(x) = (x + 2)(x - 3)

Parabola dengan akar-akar

x = -2

dan

x = 3

, melalui titik

(1, -6)

Memilih Fungsi dari Dua Syarat

Sumbu simetri dan nilai diskriminan biasanya masih memungkinkan beberapa fungsi kuadrat. Kita memerlukan satu informasi tambahan untuk menentukan satu fungsi secara tunggal.

Contoh:

Temukan persamaan fungsi kuadrat dengan sumbu simetri $x = 1$ dan diskriminan $D = 16$ .

Dari sumbu simetri $x = 1$ , kita tahu bahwa $-\frac{b}{2a} = 1$ , sehingga $b = -2a$ .

Dari diskriminan $D = 16$ , kita tahu bahwa $b^2 - 4ac = 16$ .

Substitusi $b = -2a$ ke persamaan diskriminan.

(-2a)^2 - 4ac = 16

Ada banyak nilai $a$ dan $c$ yang memenuhi persamaan ini, sehingga data tersebut tidak menentukan satu fungsi unik. Untuk memperoleh satu contoh fungsi, pilih $a = 1$ .

1(1 - c) = 4

Dengan $a = 1$ , $b = -2$ , dan $c = -3$ , fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Koordinat Simetris

Titik-titik yang simetris juga dapat dipakai untuk menentukan fungsi kuadrat.

Contoh:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik $(0, 0)$ , $(4, 1)$ , dan $(-4, 1)$ .

Karena titik $(4, 1)$ dan $(-4, 1)$ memiliki nilai $y$ yang sama dan berada pada jarak yang sama dari sumbu $y$ , maka kurva simetris terhadap sumbu $y$ . Ini berarti sumbu simetrinya adalah $x = 0$ , dan puncaknya terletak di $(0, 0)$ .

Gunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = 0$ dan $k = 0$ .

f(x) = ax^2

Substitusi titik $(4, 1)$ untuk menemukan nilai $a$ .

1 = a(4)^2

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Grafik

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Parabola melalui titik

(0, 0)

(4, 1)

, dan

(-4, 1)

Transformasi Antar Bentuk Fungsi Kuadrat

Setiap perubahan cukup dengan satu langkah aljabar, sedangkan grafiknya tetap sama.

Fungsi kuadrat yang sama dapat ditulis dalam bentuk umum, bentuk faktor, atau bentuk puncak.

Bentuk Standar ke Bentuk Vertex

Perubahan ini memakai cara melengkapi kuadrat, karena langkah itu menghasilkan bentuk $(x-h)^2$ . Perhitungan berikut menunjukkan setiap langkah antaranya.

Untuk mengubah $f(x) = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

Tentukan koordinat $x$ dari titik puncak: $h = -\frac{b}{2a}$
Hitung nilai fungsi di titik puncak: $k = f(h) = f(-\frac{b}{2a})$
Atau gunakan rumus: $k = c - \frac{b^2}{4a}$

Bentuk Standar ke Bentuk Faktor

Untuk mengubah $f(x) = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk faktor di dalam bilangan real, periksa dahulu bahwa diskriminannya tidak negatif:

Tentukan akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ menggunakan rumus:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Jika $D\ge0$ dan akar realnya adalah $p$ dan $q$ , maka:

$f(x) = a(x - p)(x - q)$

Jika $D<0$ , fungsi tersebut tidak mempunyai akar real dan tidak dapat ditulis sebagai perkalian faktor-faktor linear real.

Bentuk Faktor ke Bentuk Standar

Untuk mengubah $f(x) = a(x - p)(x - q)$ menjadi bentuk standar $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

f(x) = a(x - p)(x - q)

Dengan membandingkan dengan bentuk standar, kita mendapatkan:

$b = -a(p+q)$
$c = apq$

Latihan dan Penyelesaian

Setiap latihan memberi sekumpulan syarat dan meminta fungsi yang sesuai. Susun fungsinya, lalu periksa apakah grafik fungsi itu melewati setiap titik yang diberikan. Fungsi yang benar memenuhi semua syarat itu sekaligus.

Latihan Pertama

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik $(-2, 4)$ , $(1, -5)$ , dan $(3, 7)$ .

Jawaban:

Masukkan titik-titik ke persamaan standar:

\begin{aligned} 4 &= a(-2)^2 + b(-2) + c \\ &= 4a - 2b + c \end{aligned}

Dari persamaan kedua, $c = -5 - a - b$ . Substitusi ke persamaan pertama, lalu selesaikan:

4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)

Substitusi ke persamaan ketiga:

\begin{aligned} 7 &= 9(3 + b) + 3b \\ &\quad{}+ (-5 - (3 + b) - b) \end{aligned}

Kemudian:

a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}

Latihan Kedua

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(-1, 4)$ dan melalui titik $(2, -5)$ .

Jawaban:

Gunakan bentuk vertex dengan $h = -1$ dan $k = 4$ :

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-1))^2 + 4 \\ &= a(x + 1)^2 + 4 \end{aligned}

Substitusi titik $(2, -5)$ :

-5 = a(2 + 1)^2 + 4

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

\begin{aligned} f(x) &= -(x + 1)^2 + 4 \\ &= -x^2 - 2x + 3 \end{aligned}

Latihan Ketiga

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x = -3$ dan $x = 2$ , dan memiliki nilai maksimum $4$ .

Jawaban:

Gunakan bentuk faktor dengan $p = -3$ dan $q = 2$ :

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-3))(x - 2) \\ &= a(x + 3)(x - 2) \end{aligned}

Karena fungsi memiliki nilai maksimum, maka $a < 0$ .

Titik puncak berada di $x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$ .

Substitusi $x = -\frac{1}{2}$ ke bentuk faktor dan gunakan bahwa nilai maksimum adalah $4$ :

\begin{aligned} f(-\frac{1}{2}) &= a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) \\ &= -a\frac{25}{4} \\ &= 4 \end{aligned}

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

\begin{aligned} f(x) &= -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) \\ &= -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25} \end{aligned}

Informasi yang Menentukan Bentuk Fungsi Kuadrat

Berbagai Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dapat ditulis dalam tiga bentuk yang setara:

Bentuk Standar: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Bentuk Faktor: $f(x) = a(x - p)(x - q)$ jika akar real $p$ dan $q$ ada
Bentuk Vertex: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ , dengan $(h, k)$ sebagai titik puncak

Ketiga bentuk ini saling berhubungan dan dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Cara Menyusun Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat sudah tertentu setelah cukup banyak syarat diketahui.

Tiga Titik

y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c

Contoh:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $K(-1, 0)$ , $L(0, -3)$ , dan $M(1, -4)$ .

Masukkan nilai koordinat ke dalam persamaan standar.

K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c

Sederhanakan persamaan-persamaan tersebut.

0 = a - b + c

Substitusi $c = -3$ ke persamaan pertama dan ketiga.

0 = a - b - 3

Sederhanakan dan jumlahkan kedua persamaan untuk menemukan nilai $a$ .

a - b = 3

Substitusi nilai $a$ ke persamaan $a - b = 3$ untuk menemukan nilai $b$ .

1 - b = 3

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Grafik

f(x) = x^2 - 2x - 3

Parabola yang melalui titik

K(-1, 0)

L(0, -3)

, dan

M(1, -4)

Titik Puncak

Jika kita mengetahui koordinat titik puncak $(h, k)$ dan satu titik lain $(p, q)$ pada grafik, kita dapat menggunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ untuk menemukan nilai $a$ .

Contoh:

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(2, 0)$ dan melalui titik $(4, 4)$ .

Gunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = 2$ dan $k = 0$ .

f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2

Substitusi titik $(4, 4)$ untuk menemukan nilai $a$ .

4 = a(4 - 2)^2

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

Grafik

f(x) = (x - 2)^2

Parabola dengan titik puncak

(2, 0)

dan melalui titik

(4, 4)

Akar dan Satu Titik Tambahan

Contoh:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x = -2$ dan $x = 3$ , dan melalui titik $(1, -6)$ .

Gunakan bentuk faktor $f(x) = a(x - p)(x - q)$ dengan $p = -2$ dan $q = 3$ .

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-2))(x - 3) \\ &= a(x + 2)(x - 3) \end{aligned}

Substitusi titik $(1, -6)$ untuk menemukan nilai $a$ .

-6 = a(1 + 2)(1 - 3)

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

\begin{aligned} f(x) &= (x + 2)(x - 3) \\ &= x^2 - x - 6 \end{aligned}

Grafik

f(x) = (x + 2)(x - 3)

Parabola dengan akar-akar

x = -2

dan

x = 3

, melalui titik

(1, -6)

Memilih Fungsi dari Dua Syarat

Sumbu simetri dan nilai diskriminan biasanya masih memungkinkan beberapa fungsi kuadrat. Kita memerlukan satu informasi tambahan untuk menentukan satu fungsi secara tunggal.

Contoh:

Temukan persamaan fungsi kuadrat dengan sumbu simetri $x = 1$ dan diskriminan $D = 16$ .

Dari sumbu simetri $x = 1$ , kita tahu bahwa $-\frac{b}{2a} = 1$ , sehingga $b = -2a$ .

Dari diskriminan $D = 16$ , kita tahu bahwa $b^2 - 4ac = 16$ .

Substitusi $b = -2a$ ke persamaan diskriminan.

(-2a)^2 - 4ac = 16

Ada banyak nilai $a$ dan $c$ yang memenuhi persamaan ini, sehingga data tersebut tidak menentukan satu fungsi unik. Untuk memperoleh satu contoh fungsi, pilih $a = 1$ .

1(1 - c) = 4

Dengan $a = 1$ , $b = -2$ , dan $c = -3$ , fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Koordinat Simetris

Titik-titik yang simetris juga dapat dipakai untuk menentukan fungsi kuadrat.

Contoh:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik $(0, 0)$ , $(4, 1)$ , dan $(-4, 1)$ .

Gunakan bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = 0$ dan $k = 0$ .

f(x) = ax^2

Substitusi titik $(4, 1)$ untuk menemukan nilai $a$ .

1 = a(4)^2

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Grafik

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Parabola melalui titik

(0, 0)

(4, 1)

, dan

(-4, 1)

Transformasi Antar Bentuk Fungsi Kuadrat

Setiap perubahan cukup dengan satu langkah aljabar, sedangkan grafiknya tetap sama.

Fungsi kuadrat yang sama dapat ditulis dalam bentuk umum, bentuk faktor, atau bentuk puncak.

Bentuk Standar ke Bentuk Vertex

Perubahan ini memakai cara melengkapi kuadrat, karena langkah itu menghasilkan bentuk $(x-h)^2$ . Perhitungan berikut menunjukkan setiap langkah antaranya.

Untuk mengubah $f(x) = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk vertex $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

Tentukan koordinat $x$ dari titik puncak: $h = -\frac{b}{2a}$
Hitung nilai fungsi di titik puncak: $k = f(h) = f(-\frac{b}{2a})$
Atau gunakan rumus: $k = c - \frac{b^2}{4a}$

Bentuk Standar ke Bentuk Faktor

Untuk mengubah $f(x) = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk faktor di dalam bilangan real, periksa dahulu bahwa diskriminannya tidak negatif:

Tentukan akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ menggunakan rumus:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Jika $D\ge0$ dan akar realnya adalah $p$ dan $q$ , maka:

$f(x) = a(x - p)(x - q)$

Jika $D<0$ , fungsi tersebut tidak mempunyai akar real dan tidak dapat ditulis sebagai perkalian faktor-faktor linear real.

Bentuk Faktor ke Bentuk Standar

Untuk mengubah $f(x) = a(x - p)(x - q)$ menjadi bentuk standar $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

f(x) = a(x - p)(x - q)

Dengan membandingkan dengan bentuk standar, kita mendapatkan:

$b = -a(p+q)$
$c = apq$

Latihan dan Penyelesaian

Latihan Pertama

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik $(-2, 4)$ , $(1, -5)$ , dan $(3, 7)$ .

Jawaban:

Masukkan titik-titik ke persamaan standar:

\begin{aligned} 4 &= a(-2)^2 + b(-2) + c \\ &= 4a - 2b + c \end{aligned}

Dari persamaan kedua, $c = -5 - a - b$ . Substitusi ke persamaan pertama, lalu selesaikan:

4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)

Substitusi ke persamaan ketiga:

\begin{aligned} 7 &= 9(3 + b) + 3b \\ &\quad{}+ (-5 - (3 + b) - b) \end{aligned}

Kemudian:

a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}

Latihan Kedua

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(-1, 4)$ dan melalui titik $(2, -5)$ .

Jawaban:

Gunakan bentuk vertex dengan $h = -1$ dan $k = 4$ :

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-1))^2 + 4 \\ &= a(x + 1)^2 + 4 \end{aligned}

Substitusi titik $(2, -5)$ :

-5 = a(2 + 1)^2 + 4

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

\begin{aligned} f(x) &= -(x + 1)^2 + 4 \\ &= -x^2 - 2x + 3 \end{aligned}

Latihan Ketiga

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x = -3$ dan $x = 2$ , dan memiliki nilai maksimum $4$ .

Jawaban:

Gunakan bentuk faktor dengan $p = -3$ dan $q = 2$ :

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-3))(x - 2) \\ &= a(x + 3)(x - 2) \end{aligned}

Karena fungsi memiliki nilai maksimum, maka $a < 0$ .

Titik puncak berada di $x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$ .

Substitusi $x = -\frac{1}{2}$ ke bentuk faktor dan gunakan bahwa nilai maksimum adalah $4$ :

\begin{aligned} f(-\frac{1}{2}) &= a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) \\ &= -a\frac{25}{4} \\ &= 4 \end{aligned}

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

\begin{aligned} f(x) &= -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) \\ &= -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25} \end{aligned}