Persamaan Kuadrat

Persamaan dengan Pangkat Tertinggi Dua

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinom dalam satu variabel: ia memuat $x^2$ tetapi tidak memuat pangkat $x$ yang lebih tinggi. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax^2 + bx + c = 0

Pada bentuk ini, $a, b, c$ adalah bilangan real dan $a \neq 0$ .

Asal Usul Istilah Kuadrat

Hubungan antara istilah dan bentuk persegi itulah yang membuat persamaan berpangkat dua disebut kuadrat, dan nama itu bertahan sampai sekarang. Kata Latin tersebut juga menjelaskan mengapa variabel pada persamaan kuadrat dipangkatkan dua.

Istilah kuadrat berasal dari kata bahasa Latin, yaitu quadratus, yang berarti membuat persegi. Dalam geometri, $x^2$ dapat menyatakan luas persegi dengan panjang sisi $x$ .

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Tidak semua persamaan kuadrat cocok diselesaikan dengan cara yang sama, jadi pilihan metodenya bergantung pada bentuk persamaannya. Pemfaktoran paling cepat ketika faktornya bilangan bulat, rumus kuadrat selalu bisa dipakai, dan melengkapi kuadrat sekaligus menunjukkan titik puncaknya.

Faktorisasi

Metode faktorisasi dilakukan dengan menguraikan persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear. Misalnya:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Dari bentuk faktor di atas, kita bisa mendapatkan solusi:

Jika $2x + 1 = 0$ , maka $x = -\frac{1}{2}$
Jika $x - 2 = 0$ , maka $x = 2$

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x = -\frac{1}{2}$ atau $x = 2$ .

Melengkapkan Kuadrat

Melengkapkan kuadrat menulis ulang bentuk kuadrat sebagai kuadrat binomial yang ditambah dengan sebuah konstanta.

Contoh:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Kita bagi semua suku dengan $2$ :

x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0

Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

x^2 - \frac{3}{2}x = 1

Tambahkan $\left(\frac{-3/2}{2}\right)^2 = \frac{9}{16}$ ke kedua ruas:

x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16}

Sehingga:

x - \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}

Menggunakan Rumus Kuadrat

Untuk persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ , akar-akarnya dapat ditentukan dengan rumus:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Contoh:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Dengan $a = 2$ , $b = -3$ , dan $c = -2$ :

x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}

Sehingga:

\begin{aligned} &x = \frac{3 + 5}{4} = 2 \\ &\text{atau} \\ &x = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \end{aligned}

Perumusan Masalah dalam Bentuk Persamaan Kuadrat

Soal cerita menyembunyikan persamaannya di dalam deskripsi, jadi ubah dulu setiap kalimatnya menjadi besaran. Setelah persamaannya berdiri sendiri, baru kamu memilih cara menyelesaikannya.

Persamaan kuadrat dapat memodelkan hubungan antarbesaran yang memuat perkalian atau kuadrat. Contoh berikut menulis hubungan tersebut sebagai persamaan.

Masalah Ruang Baca

Empat sudut baca berukuran sama dibuat dalam sebuah ruang kelas berukuran $4 \text{ m} \times 6 \text{ m}$ . Jika setiap sudut berbentuk persegi dengan sisi $x \text{ meter}$ , maka luas ruangan yang tersisa untuk mengatur tempat duduk siswa adalah:

Kurangkan luas keempat sudut dari luas total.

4 \times 6 - 4x^2 = 24 - 4x^2

6 \text{ m}

4 \text{ m}

Masalah Perkalian Dua Bilangan

Perkalian dua bilangan adalah $63$ dan penjumlahannya adalah $16$ . Kita bisa menyelesaikan ini dengan persamaan kuadrat.

Misalkan kedua bilangan adalah $p$ dan $q$ , maka:

$p + q = 16$ , sehingga $q = 16 - p$
$p \times q = 63$

Substitusi nilai $q$ :

p(16 - p) = 63

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

p^2 - 16p + 63 = 0

Jadi, kedua bilangan yang dicari adalah $7$ dan $9$ .

Masalah Kecepatan Kendaraan

Sebuah kendaraan menempuh jarak $320 \text{ km}$ dengan kelajuan tertentu. Jika kendaraan melaju $24 \text{ km/jam}$ lebih cepat, waktu tempuhnya berkurang $3 \text{ jam}$ . Kita dapat mencari kelajuan awal dengan persamaan kuadrat.

Misalkan kelajuan awal adalah $v \text{ km/jam}$ dan waktu tempuh awal adalah $t \text{ jam}$ , maka:

$v \times t = 320$ (jarak $=$ kecepatan $\times$ waktu)
$(v + 24) \times (t - 3) = 320$ (kondisi kedua)

Dari persamaan pertama: $t = \frac{320}{v}$

Substitusi ke persamaan kedua:

(v + 24) \times \left(\frac{320}{v} - 3\right) = 320

Kalikan dengan $v$ , lalu sederhanakan:

(v + 24)(320 - 3v) = 320v

Kelajuan negatif tidak masuk akal dalam konteks ini. Jadi, kelajuan awalnya adalah $v = 40 \text{ km/jam}$ . Waktu tempuh awalnya $8 \text{ jam}$ . Pada kelajuan $64 \text{ km/jam}$ , waktu tempuhnya $5 \text{ jam}$ , tepat $3 \text{ jam}$ lebih singkat.

Miskonsepsi Umum Tentang Persamaan Kuadrat

Beberapa miskonsepsi yang sering terjadi:

Menentukan operasi penjumlahan $x + 3$ sebagai $3x$ .

Contoh konkret: Jika panjang ruangan $x \text{ meter}$ dan bertambah $3 \text{ meter}$ , panjang barunya menjadi $(x + 3) \text{ meter}$ . Bentuk $3x$ berarti mengalikan panjang awal dengan tiga.
Menamai suatu persamaan sebagai persamaan kuadrat hanya karena memuat suku $x^2$ , tanpa memperhatikan bentuk keseluruhan persamaan.

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinom berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ .

Berbagai Bentuk Persamaan Kuadrat

Perhatikan bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan persamaan kuadrat?

$\frac{1}{x} + 2x + 4 = 0$
Ini bukan persamaan kuadrat karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ .
$\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-3} = x^2 - 4$
Ini bukan persamaan kuadrat dalam bentuk standar, karena memiliki bentuk pecahan dengan variabel di penyebut.
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Ini adalah persamaan kuadrat karena berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a = 3 \neq 0$ .
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$
Ini bukan persamaan kuadrat karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ .

Latihan Soal

Soal-soal ini mencampur beberapa bentuk, jadi tentukan lebih dahulu apakah persamaannya bisa difaktorkan, memerlukan rumus kuadrat, atau sudah berbentuk kuadrat sempurna. Tuliskan cara yang kamu pilih sebelum menghitung.

Identifikasi Persamaan Kuadrat

Tentukan apakah persamaan-persamaan matematika berikut merupakan persamaan kuadrat:

$x^3 + x^2 + x = 0$
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
$\frac{1}{x} + 5x = 0$
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$

Faktorisasi

Jabarkan persamaan-persamaan berikut:

$(x + 2)(x + 3) = 0$
$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
$(2x - 8)(x + 5) = 0$

Kunci Jawaban

Identifikasi Persamaan Kuadrat

$x^3 + x^2 + x = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena memiliki pangkat tertinggi $3$ ( $x^3$ ). Persamaan ini adalah persamaan kubik.
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Jawaban: Persamaan kuadrat, karena berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a = 3$ , $b = 2$ , dan $c = -1$ .
$\frac{1}{x} + 5x = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ . Persamaan ini adalah persamaan pecahan.
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ . Persamaan ini adalah persamaan campuran.

Faktorisasi

$(x + 2)(x + 3) = 0$
Jawaban:
$(x + 2)(x + 3) = 0$
Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $x^2 + 5x + 6 = 0$
$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
Jawaban:
$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
Kalikan semua suku dengan $3$ untuk menyederhanakan:
$x^2 - 3x - 108 = 0$
Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $x^2 - 3x - 108 = 0$ atau $\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0$
$(2x - 8)(x + 5) = 0$
Jawaban:
$(2x - 8)(x + 5) = 0$
Faktorisasi $2x - 8$ menjadi $2(x - 4)$ :
$2(x - 4)(x + 5) = 0$
Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $2x^2 + 2x - 40 = 0$

Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Selesaikan beberapa persamaan dari hasil faktorisasi di atas:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
Jawaban: Faktorisasi:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$

Sehingga:
- Jika $x + 2 = 0$ , maka $x = -2$
- Jika $x + 3 = 0$ , maka $x = -3$
Akar-akar persamaan: $x = -2$ atau $x = -3$
$x^2 - 3x - 108 = 0$
Jawaban: Gunakan rumus kuadrat:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2}$
$x = \frac{3 \pm 21}{2}$

Sehingga:
- $x = \frac{3 + 21}{2} = 12$
- $x = \frac{3 - 21}{2} = -9$
Akar-akar persamaan: $x = 12$ atau $x = -9$

Verifikasi dengan faktorisasi:

$x^2 - 3x - 108 = 0$
$(x - 12)(x + 9) = 0$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
Jawaban: Sederhanakan persamaan dengan membagi semua suku dengan $2$ :

$x^2 + x - 20 = 0$

Faktorisasi:

$x^2 + x - 20 = 0$
$(x + 5)(x - 4) = 0$

Sehingga:
- Jika $x + 5 = 0$ , maka $x = -5$
- Jika $x - 4 = 0$ , maka $x = 4$
Akar-akar persamaan: $x = -5$ atau $x = 4$

Persamaan dengan Pangkat Tertinggi Dua

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinom dalam satu variabel: ia memuat $x^2$ tetapi tidak memuat pangkat $x$ yang lebih tinggi. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax^2 + bx + c = 0

Pada bentuk ini, $a, b, c$ adalah bilangan real dan $a \neq 0$ .

Asal Usul Istilah Kuadrat

Istilah kuadrat berasal dari kata bahasa Latin, yaitu quadratus, yang berarti membuat persegi. Dalam geometri, $x^2$ dapat menyatakan luas persegi dengan panjang sisi $x$ .

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Faktorisasi

Metode faktorisasi dilakukan dengan menguraikan persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear. Misalnya:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Dari bentuk faktor di atas, kita bisa mendapatkan solusi:

Jika $2x + 1 = 0$ , maka $x = -\frac{1}{2}$
Jika $x - 2 = 0$ , maka $x = 2$

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x = -\frac{1}{2}$ atau $x = 2$ .

Melengkapkan Kuadrat

Melengkapkan kuadrat menulis ulang bentuk kuadrat sebagai kuadrat binomial yang ditambah dengan sebuah konstanta.

Contoh:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Kita bagi semua suku dengan $2$ :

x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0

Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

x^2 - \frac{3}{2}x = 1

Tambahkan $\left(\frac{-3/2}{2}\right)^2 = \frac{9}{16}$ ke kedua ruas:

x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16}

Sehingga:

x - \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}

Menggunakan Rumus Kuadrat

Untuk persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ , akar-akarnya dapat ditentukan dengan rumus:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Contoh:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Dengan $a = 2$ , $b = -3$ , dan $c = -2$ :

x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}

Sehingga:

\begin{aligned} &x = \frac{3 + 5}{4} = 2 \\ &\text{atau} \\ &x = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \end{aligned}

Perumusan Masalah dalam Bentuk Persamaan Kuadrat

Soal cerita menyembunyikan persamaannya di dalam deskripsi, jadi ubah dulu setiap kalimatnya menjadi besaran. Setelah persamaannya berdiri sendiri, baru kamu memilih cara menyelesaikannya.

Persamaan kuadrat dapat memodelkan hubungan antarbesaran yang memuat perkalian atau kuadrat. Contoh berikut menulis hubungan tersebut sebagai persamaan.

Masalah Ruang Baca

Kurangkan luas keempat sudut dari luas total.

4 \times 6 - 4x^2 = 24 - 4x^2

6 \text{ m}

4 \text{ m}

Masalah Perkalian Dua Bilangan

Perkalian dua bilangan adalah $63$ dan penjumlahannya adalah $16$ . Kita bisa menyelesaikan ini dengan persamaan kuadrat.

Misalkan kedua bilangan adalah $p$ dan $q$ , maka:

$p + q = 16$ , sehingga $q = 16 - p$
$p \times q = 63$

Substitusi nilai $q$ :

p(16 - p) = 63

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

p^2 - 16p + 63 = 0

Jadi, kedua bilangan yang dicari adalah $7$ dan $9$ .

Masalah Kecepatan Kendaraan

Misalkan kelajuan awal adalah $v \text{ km/jam}$ dan waktu tempuh awal adalah $t \text{ jam}$ , maka:

$v \times t = 320$ (jarak $=$ kecepatan $\times$ waktu)
$(v + 24) \times (t - 3) = 320$ (kondisi kedua)

Dari persamaan pertama: $t = \frac{320}{v}$

Substitusi ke persamaan kedua:

(v + 24) \times \left(\frac{320}{v} - 3\right) = 320

Kalikan dengan $v$ , lalu sederhanakan:

(v + 24)(320 - 3v) = 320v

Miskonsepsi Umum Tentang Persamaan Kuadrat

Beberapa miskonsepsi yang sering terjadi:

Menentukan operasi penjumlahan $x + 3$ sebagai $3x$ .

Contoh konkret: Jika panjang ruangan $x \text{ meter}$ dan bertambah $3 \text{ meter}$ , panjang barunya menjadi $(x + 3) \text{ meter}$ . Bentuk $3x$ berarti mengalikan panjang awal dengan tiga.
Menamai suatu persamaan sebagai persamaan kuadrat hanya karena memuat suku $x^2$ , tanpa memperhatikan bentuk keseluruhan persamaan.

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinom berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ .

Berbagai Bentuk Persamaan Kuadrat

Perhatikan bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan persamaan kuadrat?

$\frac{1}{x} + 2x + 4 = 0$
Ini bukan persamaan kuadrat karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ .
$\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-3} = x^2 - 4$
Ini bukan persamaan kuadrat dalam bentuk standar, karena memiliki bentuk pecahan dengan variabel di penyebut.
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Ini adalah persamaan kuadrat karena berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a = 3 \neq 0$ .
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$
Ini bukan persamaan kuadrat karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ .

Latihan Soal

Identifikasi Persamaan Kuadrat

Tentukan apakah persamaan-persamaan matematika berikut merupakan persamaan kuadrat:

$x^3 + x^2 + x = 0$
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
$\frac{1}{x} + 5x = 0$
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$

Faktorisasi

Jabarkan persamaan-persamaan berikut:

$(x + 2)(x + 3) = 0$
$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
$(2x - 8)(x + 5) = 0$

Kunci Jawaban

Identifikasi Persamaan Kuadrat

$x^3 + x^2 + x = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena memiliki pangkat tertinggi $3$ ( $x^3$ ). Persamaan ini adalah persamaan kubik.
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Jawaban: Persamaan kuadrat, karena berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a = 3$ , $b = 2$ , dan $c = -1$ .
$\frac{1}{x} + 5x = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ . Persamaan ini adalah persamaan pecahan.
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ . Persamaan ini adalah persamaan campuran.

Faktorisasi

$(x + 2)(x + 3) = 0$
Jawaban:
$(x + 2)(x + 3) = 0$
Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $x^2 + 5x + 6 = 0$
$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
Jawaban:
$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
Kalikan semua suku dengan $3$ untuk menyederhanakan:
$x^2 - 3x - 108 = 0$
Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $x^2 - 3x - 108 = 0$ atau $\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0$
$(2x - 8)(x + 5) = 0$
Jawaban:
$(2x - 8)(x + 5) = 0$
Faktorisasi $2x - 8$ menjadi $2(x - 4)$ :
$2(x - 4)(x + 5) = 0$
Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $2x^2 + 2x - 40 = 0$

Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Selesaikan beberapa persamaan dari hasil faktorisasi di atas:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
Jawaban: Faktorisasi:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$

Sehingga:
- Jika $x + 2 = 0$ , maka $x = -2$
- Jika $x + 3 = 0$ , maka $x = -3$
Akar-akar persamaan: $x = -2$ atau $x = -3$
$x^2 - 3x - 108 = 0$
Jawaban: Gunakan rumus kuadrat:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2}$
$x = \frac{3 \pm 21}{2}$

Sehingga:
- $x = \frac{3 + 21}{2} = 12$
- $x = \frac{3 - 21}{2} = -9$
Akar-akar persamaan: $x = 12$ atau $x = -9$

Verifikasi dengan faktorisasi:

$x^2 - 3x - 108 = 0$
$(x - 12)(x + 9) = 0$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
Jawaban: Sederhanakan persamaan dengan membagi semua suku dengan $2$ :

$x^2 + x - 20 = 0$

Faktorisasi:

$x^2 + x - 20 = 0$
$(x + 5)(x - 4) = 0$

Sehingga:
- Jika $x + 5 = 0$ , maka $x = -5$
- Jika $x - 4 = 0$ , maka $x = 4$
Akar-akar persamaan: $x = -5$ atau $x = 4$