Identitas Polinomial

Dua Polinomial yang Sama untuk Semua Nilai Variabel

Sebuah identitas adalah persamaan yang tetap benar untuk setiap nilai dalam domainnya. Identitas polinomial adalah identitas yang kedua ruasnya berupa bentuk polinomial.

Berbeda dengan persamaan biasa yang hanya benar untuk nilai variabel tertentu (misalnya, $x + 2 = 5$ hanya benar jika $x=3$), identitas polinomial berlaku untuk semua kemungkinan nilai variabel.

Identitas Polinomial yang Sering Digunakan

Berikut adalah beberapa contoh identitas polinomial yang penting dan sering muncul:

Identitas-identitas ini dapat dibaca dalam dua arah: dari bentuk perkalian ke bentuk uraian, atau dari bentuk uraian ke bentuk faktor. Arah yang dipilih bergantung pada operasi yang dibutuhkan.

Membuktikan Suatu Persamaan adalah Identitas

Bagaimana cara kita tahu kalau suatu persamaan itu benar-benar identitas atau bukan?

1. Cara Membuktikan (Jika BENAR identitas):

   Kita harus menunjukkan bahwa bentuk di ruas kiri persamaan selalu sama dengan bentuk di ruas kanan setelah disederhanakan. Caranya adalah dengan menguraikan salah satu ruas (biasanya yang lebih kompleks) menggunakan operasi aljabar sampai bentuknya sama persis dengan ruas lainnya.

2. Cara Membuktikan (Jika BUKAN identitas):

   Temukan satu nilai variabel yang membuat kedua ruas berbeda. Satu contoh penyangkal sudah membuktikan bahwa persamaan tersebut bukan identitas.

Pembuktian Identitas

Buktikan apakah persamaan berikut merupakan identitas polinomial atau bukan.

1. $(2x^2 - y^2)^2 = 4x^4 - 4x^2y^2 + y^4$
2. $(2a - 5)(2a + 5) = 4a^2 - 20a + 25$

Penyelesaian:

1. Kita akan uraikan ruas kiri menggunakan identitas $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, dengan $A = 2x^2$ dan $B = y^2$.

   $$\begin{aligned} &(2x^2-y^2)^2 \\ &=(2x^2)^2-2(2x^2)(y^2)+(y^2)^2 \end{aligned}$$

   $$= 4x^4 - 4x^2y^2 + y^4$$

   Karena hasil penguraian ruas kiri ($4x^4 - 4x^2y^2 + y^4$) sama persis dengan ruas kanan, maka persamaan ini terbukti merupakan identitas polinomial.

2. Kita coba masukkan satu nilai variabel, misalnya $a = 0$, ke kedua ruas.

   • Ruas Kiri:

     $$\begin{aligned} &(2a - 5)(2a + 5) \\ &= (2(0) - 5)(2(0) + 5) \end{aligned}$$

     $$= (0 - 5)(0 + 5)$$

     $$= (-5)(5)$$

     $$= -25$$

   • Ruas Kanan:

     $$\begin{aligned} &4a^2 - 20a + 25 \\ &= 4(0)^2 - 20(0) + 25 \end{aligned}$$

     $$= 4(0) - 0 + 25$$

     $$= 0 - 0 + 25$$

     $$= 25$$

   Karena untuk $a = 0$, ruas kiri ($-25$) tidak sama dengan ruas kanan ($25$), maka persamaan ini bukan merupakan identitas polinomial.

   Identitas yang benar untuk $(2a-5)(2a+5)$ adalah $(2a)^2 - 5^2 = 4a^2 - 25$, dengan menggunakan $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$.

Latihan

Buktikan apakah setiap persamaan polinomial berikut merupakan identitas polinomial atau bukan. Satu nilai yang membuat persamaannya tidak berlaku sudah cukup untuk menunjukkan bahwa persamaan itu bukan identitas, sedangkan untuk identitas perlu menjabarkan kedua ruasnya.

1. $(2m - 3)^3 = 8m^3 - 27$
2. $(2x - 3)^2 + 5 = 4x^2 - 12x + 14$

Kunci Jawaban

1. Kita uji dengan nilai $m = 1$.

   • Ruas Kiri:

     $$(2m - 3)^3 = (2(1) - 3)^3$$

     $$= (2 - 3)^3$$

     $$= (-1)^3$$

     $$= -1$$

   • Ruas Kanan:

     $$8m^3 - 27 = 8(1)^3 - 27$$

     $$= 8(1) - 27$$

     $$= 8 - 27$$

     $$= -19$$

   Karena untuk $m=1$, ruas kiri ($-1$) $\neq$ ruas kanan ($-19$), maka persamaan ini bukan identitas polinomial.

   Identitas yang benar adalah $(2m-3)^3 = (2m)^3 - 3(2m)^2(3) + 3(2m)(3)^2 - 3^3 = 8m^3 - 36m^2 + 54m - 27$.

2. Kita uraikan ruas kiri menggunakan identitas $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, dengan $A = 2x$ dan $B = 3$.

   Namai hasil perluasan kuadrat sebagai $B$, lalu pertahankan konstanta tambahannya:

   $$B=(2x)^2-2(2x)(3)+(3)^2$$

   $$(2x-3)^2+5=B+5$$

   $$= [4x^2 - 12x + 9] + 5$$

   $$= 4x^2 - 12x + 9 + 5$$

   $$= 4x^2 - 12x + 14$$

   Karena hasil penguraian ruas kiri ($4x^2 - 12x + 14$) sama persis dengan ruas kanan, maka persamaan ini terbukti merupakan identitas polinomial.