Pembuat Nol Rasional

Menyusun Daftar Kandidat Akar dari Koefisien Polinomial

Menurut Teorema Faktor, $(x-c)$ merupakan faktor dari $P(x)$ tepat ketika $c$ merupakan pembuat nol polinomial tersebut. Untuk polinomial berderajat tinggi, langkah pertama adalah membuat daftar terbatas nilai yang perlu diuji.

Menguji bilangan secara acak tidak menghasilkan rencana pencarian yang terbatas. Teorema Pembuat Nol Rasional (atau Teorema Akar Rasional) memakai koefisien utama dan suku konstanta untuk membentuk daftar terbatas kemungkinan akar rasional.

Teorema Pembuat Nol Rasional

Misalkan $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ adalah polinomial dengan koefisien-koefisien ($a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$) yang semuanya merupakan bilangan bulat, dengan $a_n \neq 0$ dan $a_0 \neq 0$.

Jika polinomial $P(x)$ memiliki akar rasional $\frac{p}{q}$ dalam bentuk paling sederhana, dengan $p$ dan $q$ bilangan bulat serta $q \neq 0$, maka:

• $p$ pasti merupakan faktor dari konstanta $a_0$.
• $q$ pasti merupakan faktor dari koefisien utama $a_n$.

Teorema ini hanya memberikan daftar kemungkinan akar rasional. Belum tentu semua nilai $\frac{p}{q}$ dari daftar tersebut benar-benar akar dari polinomialnya. Kita masih perlu mengujinya.

Langkah Teorema Pembuat Nol Rasional

Berikut langkah-langkah untuk menemukan akar rasional dengan teorema ini. Setelah kandidat diperoleh, Teorema Faktor dapat digunakan untuk memeriksanya:

1. Identifikasi Koefisien: Pastikan semua koefisien ($a_n, \dots, a_0$) adalah bilangan bulat. Identifikasi konstanta $a_0$ dan koefisien utama $a_n$.
2. Daftar Faktor $p$: Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari konstanta $a_0$.
3. Daftar Faktor $q$: Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari koefisien utama $a_n$.
4. Daftar Kemungkinan Akar $\frac{p}{q}$: Buat daftar semua kemungkinan nilai $\frac{p}{q}$ dengan membagi setiap faktor $p$ dengan setiap faktor $q$. Sederhanakan pecahan dan hilangkan duplikat.
5. Uji Kemungkinan Akar: Substitusikan setiap nilai $\frac{p}{q}$ ke $P(x)$, atau uji dengan metode Horner. Jika $P(\frac{p}{q}) = 0$, maka $\frac{p}{q}$ adalah akar rasional dan $(x - \frac{p}{q})$ atau $(qx - p)$ adalah faktor dari $P(x)$.
6. Faktorkan Lebih Lanjut: Setelah menemukan satu akar rasional $c$, gunakan hasil bagi dari metode Horner untuk mencari akar-akar lainnya dari polinomial yang derajatnya sudah lebih rendah.

Penggunaan Teorema Faktor dan Pembuat Nol Rasional

Faktorkan polinomial $P(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ secara komplet.

1. Identifikasi Koefisien:

   Koefisien adalah bilangan bulat. $a_0 = -18$ dan $a_n = 1$.

2. Faktor $p$ (dari $a_0 = -18$):

   $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$$

3. Faktor $q$ (dari $a_n = 1$):

   $$\pm 1$$

4. Kemungkinan Akar $\frac{p}{q}$:

   Membagi semua $p$ dengan $q = \pm 1$ menghasilkan:

   $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$$

5. Uji Kemungkinan Akar: Kita coba beberapa nilai dari daftar ini.

   • Coba $x = 1$:

     $$P(1) = 1 + 2 - 9 - 18 = -24 \neq 0$$

   • Coba $x = -1$:

     $$P(-1) = -1 + 2 + 9 - 18 = -8 \neq 0$$

   • Coba $x = 2$:

     $$P(2) = 8 + 8 - 18 - 18 = -20 \neq 0$$

   • Coba $x = -2$:

     $$P(-2) = -8 + 8 + 18 - 18 = 0$$

     Berhasil! Jadi, $x = -2$ adalah akar, dan $(x+2)$ adalah faktor.

   • Atau dicoba $x = 3$:

     $$P(3) = (3)^3 + 2(3)^2 - 9(3) - 18 = 27 + 18 - 27 - 18 = 0$$

     Berhasil! Jadi, $x = 3$ adalah akar, dan $(x-3)$ adalah faktor.

6. Faktorkan Lebih Lanjut (menggunakan akar $x = 3$):

   Bagi $P(x)$ dengan $(x-3)$ menggunakan Horner ($c = 3$).

   $$\begin{array}{c|cccc} 3 & 1 & 2 & -9 & -18 \\ & & 3 & 15 & 18 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil baginya $H(x) = x^2 + 5x + 6$.

   Maka, $P(x) = (x-3)(x^2 + 5x + 6)$.

7. Faktorkan Hasil Bagi:

   Faktorkan $x^2 + 5x + 6$.

   $$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$$

8. Faktorisasi Lengkap:

   $$P(x) = (x-3)(x+2)(x+3)$$

Latihan

Faktorkan $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 20$ secara komplet menggunakan Teorema Pembuat Nol Rasional dan Teorema Faktor. Daftarkan kemungkinan akarnya dari faktor konstanta dan koefisien utamanya, lalu uji satu per satu dan bagi polinomialnya untuk setiap akar yang terbukti.

Kunci Jawaban

1. Identifikasi Koefisien: $a_0 = 20$, $a_n = 2$.

2. Faktor $p$ (dari $20$): $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm 5$, $\pm 10$, $\pm 20$.

3. Faktor $q$ (dari $2$): $\pm 1$, $\pm 2$.

4. Kemungkinan Akar $\frac{p}{q}$: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm 5$, $\pm 10$, $\pm 20$, $\pm 1/2$, $\pm 5/2$.

5. Uji Akar:

   Coba $x = 2$.

   $$P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 20$$

   $$P(2) = 2(8) - 3(4) - 24 + 20$$

   $$P(2) = 16 - 12 - 24 + 20$$

   $$P(2) = 4 - 4 = 0$$

   Karena $P(2)=0$, maka $x=2$ adalah akar dan $(x-2)$ adalah faktor.

6. Bagi dengan Horner ($c = 2$):

   $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -3 & -12 & 20 \\ & & 4 & 2 & -20 \\ \hline & 2 & 1 & -10 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil bagi $H(x) = 2x^2 + x - 10$.

   $P(x) = (x-2)(2x^2 + x - 10)$.

7. Faktorkan Hasil Bagi:

   Faktorkan $2x^2 + x - 10$.

   $$2x^2 + x - 10 = (2x+5)(x-2)$$

8. Faktorisasi Lengkap:

   $$P(x) = (x-2)(2x+5)(x-2)$$

   $$P(x) = (x-2)^2 (2x+5)$$