Pembuat Nol Rasional

Mencari Akar Rasional Polinomial

Setelah mengetahui Teorema Faktor, kita tahu bahwa mencari faktor $(x-c)$ sama saja dengan mencari pembuat nol (akar) $c$ dari polinomial $P(x)$. Namun, bagaimana cara kita menemukan nilai $c$ tersebut, terutama jika polinomialnya berderajat tinggi?

Mencoba-coba semua bilangan tentu tidak efisien. Di sinilah Teorema Pembuat Nol Rasional (atau Teorema Akar Rasional) berperan. Teorema ini membantu kita mempersempit daftar kemungkinan akar rasional dari suatu polinomial.

Teorema Pembuat Nol Rasional

Misalkan $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ adalah polinomial dengan koefisien-koefisien () yang semuanya merupakan , dengan dan .

Jika polinomial $P(x)$ tersebut memiliki pembuat nol (akar) rasional berbentuk $\frac{p}{q}$ (di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat, , dan adalah pecahan paling sederhana), maka:

• $p$ pasti merupakan faktor dari konstanta $a_0$.
• $q$ pasti merupakan faktor dari koefisien utama $a_n$.

Teorema ini hanya memberikan daftar kemungkinan akar rasional. Belum tentu semua nilai $\frac{p}{q}$ dari daftar tersebut benar-benar akar dari polinomialnya. Kita masih perlu mengujinya.

Langkah-langkah Teorema Pembuat Nol Rasional

Berikut langkah-langkah untuk menemukan akar rasional menggunakan teorema ini, seringkali dikombinasikan dengan Teorema Faktor:

1. Identifikasi Koefisien: Pastikan semua koefisien ($a_n, \dots, a_0$) adalah bilangan bulat. Identifikasi konstanta $a_0$ dan koefisien utama .

Penggunaan Teorema Faktor dan Pembuat Nol Rasional

Faktorkan polinomial $P(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ secara komplet.

1. Identifikasi Koefisien:

   Koefisien adalah bilangan bulat. $a_0 = -18$ dan $a_n = 1$.

2. Faktor (dari ):

Latihan

Faktorkan $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 20$ secara komplet menggunakan Teorema Pembuat Nol Rasional dan Teorema Faktor.

Kunci Jawaban

1. Identifikasi Koefisien: $a_0 = 20$, $a_n = 2$.

2. Faktor $p$ (dari ): .