Metode Horner

Membagi Polinomial dari Urutan Koefisiennya

Metode Horner membagi polinomial dengan pembagi linear seperti $(x-c)$ hanya dari urutan koefisiennya. Pada setiap langkah, hasil terakhir dikalikan dengan $c$ lalu ditambah dengan koefisien berikutnya. Karena itu, kita tidak perlu menulis ulang variabel dan pangkat seperti pada pembagian bersusun.

Perbandingan dengan Pembagian Bersusun

Untuk melihat bagaimana Metode Horner menyederhanakan proses, mari bandingkan pembagian $P(x) = x^3 - 7x + 8$ (atau $x^3 + 0x^2 - 7x + 8$ ) dengan $x-2$ menggunakan kedua cara:

Pembagian Bersusun:

\begin{array}{l} \qquad\quad\space\space x^2 + 2x - 3 \\ x-2\overline{\big)x^3 + 0x^2 - 7x + 8} \\ \quad\space\space \underline{-(x^3 - 2x^2)} \\ \qquad\qquad 2x^2 - 7x \\ \qquad\quad \underline{-(2x^2 - 4x)} \\ \qquad\qquad\qquad -3x + 8 \\ \qquad\qquad\quad \underline{-(-3x + 6)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2 \\ \end{array}

Metode Horner:

\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & 0 & -7 & 8 \\ & & 2 & 4 & -6 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & \boxed{2} \\ \end{array}

Perhatikan bagaimana Metode Horner hanya fokus pada koefisien $(1, 0, -7, 8)$ dan nilai $c=2$ . Baris bawah pada Metode Horner $(1, 2, -3)$ langsung memberikan koefisien hasil bagi $1x^2 + 2x - 3$ dan angka terakhir $\boxed{2}$ adalah sisanya.

Skema tersebut tidak menulis ulang variabel dan pangkat. Baris paling bawah langsung memuat koefisien hasil bagi, diikuti oleh sisa pembagian.

Metode ini hanya bisa langsung digunakan jika pembaginya adalah polinomial linier derajat satu, yaitu berbentuk $(x-c)$ atau $(ax-b)$ (yang bisa diubah bentuk).

Persiapan Menggunakan Metode Horner

Sebelum melakukan pembagian dengan metode Horner, ada beberapa langkah persiapan:

Identifikasi Koefisien Polinomial yang Dibagi ( $P(x)$ ):

Tuliskan semua koefisien dari polinomial yang akan dibagi secara berurutan, dimulai dari suku dengan pangkat tertinggi hingga konstanta. Pastikan tidak ada pangkat yang terlewat. Jika ada suku dengan pangkat tertentu yang tidak ada, koefisiennya ditulis sebagai $0$ .

Contoh:

Untuk $P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$ , koefisien suku $x$ adalah $0$ . Maka, koefisien yang kita tulis berurutan adalah: $2, 5, 0, 6$ .
Identifikasi Nilai $c$ dari Pembagi ( $x-c$ ):

Tentukan nilai $c$ dari polinomial pembagi. Ingat, jika pembagi adalah $x-c$ , nilai yang digunakan adalah $c$ . Jika pembagi adalah $x+c$ , maka bentuknya sama dengan $x - (-c)$ , sehingga nilai yang digunakan adalah $-c$ .

Contoh:

Jika pembagi adalah $x+3$ , maka $x - (-3)$ , sehingga $c = -3$ .
Buat Skema Horner:

Gambarkan skema atau bagan Horner. Letakkan nilai $c$ di sebelah kiri dan tuliskan koefisien $P(x)$ di baris atas.

Proses Pembagian dengan Metode Horner

Berikut adalah langkah-langkah melakukan pembagian menggunakan skema Horner:

Turunkan Koefisien Pertama: Turunkan koefisien pertama ( $a_n$ ) langsung ke baris hasil (baris paling bawah).
Kali dan Letakkan: Kalikan koefisien yang baru saja diturunkan dengan nilai $c$ . Letakkan hasilnya di bawah koefisien kedua ( $a_{n-1}$ ).
Jumlahkan: Jumlahkan koefisien kedua ( $a_{n-1}$ ) dengan hasil perkalian dari langkah sebelumnya. Tuliskan hasilnya di baris hasil, tepat di bawahnya.
Ulangi: Ulangi langkah 2 (kali dengan $c$ ) dan langkah 3 (jumlahkan dengan koefisien di atasnya) untuk semua koefisien yang tersisa.
Hasil Akhir: Angka terakhir di baris hasil adalah sisa pembagian ( $S$ ). Angka-angka lainnya di baris hasil, dari kiri ke kanan, adalah koefisien dari polinomial hasil bagi ( $H(x)$ ), dimulai dari pangkat $n-1$ .

Penggunaan Metode Horner

Bagi $P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$ dengan $x+3$ menggunakan kedua metode.

Pembagian Bersusun:

\begin{array}{l} \qquad\quad\space 2x^2 - x + 3 \\ x+3\overline{\big)2x^3 + 5x^2 + 0x + 6} \\ \quad\space \underline{-(2x^3 + 6x^2)} \\ \qquad\qquad -x^2 + 0x \\ \qquad\quad \underline{-(-x^2 - 3x)} \\ \qquad\qquad\qquad 3x + 6 \\ \qquad\qquad\quad \underline{-(3x + 9)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad -3 \\ \end{array}

Metode Horner:

Persiapan:
- Koefisien $P(x)$ : $2, 5, 0$ (untuk $x^1$ ), $6$ (konstanta).
- Pembagi adalah $x+3$ , maka $x - (-3)$ , jadi $c = -3$ .
Proses Horner:

$\begin{array}{c|cccc} -3 & 2 & 5 & 0 & 6 \\ & & -6 & 3 & -9 \\ \hline & 2 & -1 & 3 & \boxed{-3} \\ \end{array}$
Penjelasan Skema:
- Angka $2$ (koefisien $x^3$ ) diturunkan.
- $2 \times (-3) = -6$ . Letakkan $-6$ di bawah $5$ .
- $5 + (-6) = -1$ . Tulis $-1$ di baris hasil.
- $-1 \times (-3) = 3$ . Letakkan $3$ di bawah $0$ .
- $0 + 3 = 3$ . Tulis $3$ di baris hasil.
- $3 \times (-3) = -9$ . Letakkan $-9$ di bawah $6$ .
- $6 + (-9) = -3$ . Tulis $-3$ (sisa) di baris hasil paling kanan.
Hasil:
- Angka terakhir di baris hasil adalah $\boxed{-3}$ . Ini adalah Sisa Pembagian ( $S$ ).
- Angka-angka lainnya adalah $2, -1, 3$ . Ini adalah koefisien Hasil Bagi ( $H(x)$ ). Karena $P(x)$ berderajat $3$ , maka $H(x)$ berderajat $2$ .
- Jadi, $H(x) = 2x^2 - 1x + 3 = 2x^2 - x + 3$ .
Penulisan Algoritma Pembagian:
$P(x) = (x-c) H(x) + S$

Latihan

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian $x^4 + 4$ oleh $x - 1$ dengan menggunakan metode Horner dan pembagian bersusun.

Nyatakan hasilnya ke dalam bentuk $P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$ . Kedua metode harus memberi nilai yang sama, dan pemeriksaan derajat memberi tahu berapa banyak suku yang mungkin pada hasil baginya.

Kunci Jawaban

Polinomial yang dibagi: $P(x) = x^4 + 4 = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4$ .
Pembagi: $Q(x) = x - 1$ , maka $c = 1$ .

Pembagian Bersusun:

\begin{array}{l} \qquad\quad\space\space x^3 + x^2 + x + 1 \\ x-1\overline{\big)x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4} \\ \quad\space\space \underline{-(x^4 - x^3)} \\ \qquad\qquad x^3 + 0x^2 \\ \qquad\quad \underline{-(x^3 - x^2)} \\ \qquad\qquad\qquad x^2 + 0x \\ \qquad\qquad\quad \underline{-(x^2 - x)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad x + 4 \\ \qquad\qquad\qquad\quad \underline{-(x - 1)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5 \\ \end{array}

Metode Horner:

\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & \boxed{5} \\ \end{array}

Hasil:

Hasil Bagi: $H(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ .
Sisa: $S = \boxed{5}$ .

Penulisan Algoritma Pembagian:

\begin{aligned} &x^4 + 4 \\ &= (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1) + 5 \end{aligned}

Membagi Polinomial dari Urutan Koefisiennya

Perbandingan dengan Pembagian Bersusun

Untuk melihat bagaimana Metode Horner menyederhanakan proses, mari bandingkan pembagian $P(x) = x^3 - 7x + 8$ (atau $x^3 + 0x^2 - 7x + 8$ ) dengan $x-2$ menggunakan kedua cara:

Pembagian Bersusun:

\begin{array}{l} \qquad\quad\space\space x^2 + 2x - 3 \\ x-2\overline{\big)x^3 + 0x^2 - 7x + 8} \\ \quad\space\space \underline{-(x^3 - 2x^2)} \\ \qquad\qquad 2x^2 - 7x \\ \qquad\quad \underline{-(2x^2 - 4x)} \\ \qquad\qquad\qquad -3x + 8 \\ \qquad\qquad\quad \underline{-(-3x + 6)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2 \\ \end{array}

Metode Horner:

\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & 0 & -7 & 8 \\ & & 2 & 4 & -6 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & \boxed{2} \\ \end{array}

Skema tersebut tidak menulis ulang variabel dan pangkat. Baris paling bawah langsung memuat koefisien hasil bagi, diikuti oleh sisa pembagian.

Metode ini hanya bisa langsung digunakan jika pembaginya adalah polinomial linier derajat satu, yaitu berbentuk $(x-c)$ atau $(ax-b)$ (yang bisa diubah bentuk).

Persiapan Menggunakan Metode Horner

Sebelum melakukan pembagian dengan metode Horner, ada beberapa langkah persiapan:

Identifikasi Koefisien Polinomial yang Dibagi ( $P(x)$ ):

Tuliskan semua koefisien dari polinomial yang akan dibagi secara berurutan, dimulai dari suku dengan pangkat tertinggi hingga konstanta. Pastikan tidak ada pangkat yang terlewat. Jika ada suku dengan pangkat tertentu yang tidak ada, koefisiennya ditulis sebagai $0$ .

Contoh:

Untuk $P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$ , koefisien suku $x$ adalah $0$ . Maka, koefisien yang kita tulis berurutan adalah: $2, 5, 0, 6$ .
Identifikasi Nilai $c$ dari Pembagi ( $x-c$ ):

Tentukan nilai $c$ dari polinomial pembagi. Ingat, jika pembagi adalah $x-c$ , nilai yang digunakan adalah $c$ . Jika pembagi adalah $x+c$ , maka bentuknya sama dengan $x - (-c)$ , sehingga nilai yang digunakan adalah $-c$ .

Contoh:

Jika pembagi adalah $x+3$ , maka $x - (-3)$ , sehingga $c = -3$ .
Buat Skema Horner:

Gambarkan skema atau bagan Horner. Letakkan nilai $c$ di sebelah kiri dan tuliskan koefisien $P(x)$ di baris atas.

Proses Pembagian dengan Metode Horner

Berikut adalah langkah-langkah melakukan pembagian menggunakan skema Horner:

Turunkan Koefisien Pertama: Turunkan koefisien pertama ( $a_n$ ) langsung ke baris hasil (baris paling bawah).
Kali dan Letakkan: Kalikan koefisien yang baru saja diturunkan dengan nilai $c$ . Letakkan hasilnya di bawah koefisien kedua ( $a_{n-1}$ ).
Jumlahkan: Jumlahkan koefisien kedua ( $a_{n-1}$ ) dengan hasil perkalian dari langkah sebelumnya. Tuliskan hasilnya di baris hasil, tepat di bawahnya.
Ulangi: Ulangi langkah 2 (kali dengan $c$ ) dan langkah 3 (jumlahkan dengan koefisien di atasnya) untuk semua koefisien yang tersisa.
Hasil Akhir: Angka terakhir di baris hasil adalah sisa pembagian ( $S$ ). Angka-angka lainnya di baris hasil, dari kiri ke kanan, adalah koefisien dari polinomial hasil bagi ( $H(x)$ ), dimulai dari pangkat $n-1$ .

Penggunaan Metode Horner

Bagi $P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$ dengan $x+3$ menggunakan kedua metode.

Pembagian Bersusun:

\begin{array}{l} \qquad\quad\space 2x^2 - x + 3 \\ x+3\overline{\big)2x^3 + 5x^2 + 0x + 6} \\ \quad\space \underline{-(2x^3 + 6x^2)} \\ \qquad\qquad -x^2 + 0x \\ \qquad\quad \underline{-(-x^2 - 3x)} \\ \qquad\qquad\qquad 3x + 6 \\ \qquad\qquad\quad \underline{-(3x + 9)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad -3 \\ \end{array}

Metode Horner:

Persiapan:
- Koefisien $P(x)$ : $2, 5, 0$ (untuk $x^1$ ), $6$ (konstanta).
- Pembagi adalah $x+3$ , maka $x - (-3)$ , jadi $c = -3$ .
Proses Horner:

$\begin{array}{c|cccc} -3 & 2 & 5 & 0 & 6 \\ & & -6 & 3 & -9 \\ \hline & 2 & -1 & 3 & \boxed{-3} \\ \end{array}$
Penjelasan Skema:
- Angka $2$ (koefisien $x^3$ ) diturunkan.
- $2 \times (-3) = -6$ . Letakkan $-6$ di bawah $5$ .
- $5 + (-6) = -1$ . Tulis $-1$ di baris hasil.
- $-1 \times (-3) = 3$ . Letakkan $3$ di bawah $0$ .
- $0 + 3 = 3$ . Tulis $3$ di baris hasil.
- $3 \times (-3) = -9$ . Letakkan $-9$ di bawah $6$ .
- $6 + (-9) = -3$ . Tulis $-3$ (sisa) di baris hasil paling kanan.
Hasil:
- Angka terakhir di baris hasil adalah $\boxed{-3}$ . Ini adalah Sisa Pembagian ( $S$ ).
- Angka-angka lainnya adalah $2, -1, 3$ . Ini adalah koefisien Hasil Bagi ( $H(x)$ ). Karena $P(x)$ berderajat $3$ , maka $H(x)$ berderajat $2$ .
- Jadi, $H(x) = 2x^2 - 1x + 3 = 2x^2 - x + 3$ .
Penulisan Algoritma Pembagian:
$P(x) = (x-c) H(x) + S$

Latihan

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian $x^4 + 4$ oleh $x - 1$ dengan menggunakan metode Horner dan pembagian bersusun.

Kunci Jawaban

Polinomial yang dibagi: $P(x) = x^4 + 4 = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4$ .
Pembagi: $Q(x) = x - 1$ , maka $c = 1$ .

Pembagian Bersusun:

\begin{array}{l} \qquad\quad\space\space x^3 + x^2 + x + 1 \\ x-1\overline{\big)x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4} \\ \quad\space\space \underline{-(x^4 - x^3)} \\ \qquad\qquad x^3 + 0x^2 \\ \qquad\quad \underline{-(x^3 - x^2)} \\ \qquad\qquad\qquad x^2 + 0x \\ \qquad\qquad\quad \underline{-(x^2 - x)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad x + 4 \\ \qquad\qquad\qquad\quad \underline{-(x - 1)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5 \\ \end{array}

Metode Horner:

\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & \boxed{5} \\ \end{array}

Hasil:

Hasil Bagi: $H(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ .
Sisa: $S = \boxed{5}$ .

Penulisan Algoritma Pembagian:

\begin{aligned} &x^4 + 4 \\ &= (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1) + 5 \end{aligned}