Teorema Faktor

Akar Polinomial dan Faktor Linearnya

Ketika kita membagi suatu polinomial $P(x)$ dengan $(x - c)$, terkadang sisa pembagiannya adalah nol. Kita tahu dari Teorema Sisa bahwa jika sisa pembagiannya nol, maka $P(c) = 0$. Nah, apa artinya jika $P(c) = 0$?

Nilai $c$ yang menyebabkan $P(c) = 0$ disebut sebagai pembuat nol atau akar dari polinomial $P(x)$. Teorema Faktor menjelaskan hubungan erat antara pembuat nol ini dengan faktor dari polinomial tersebut.

Pernyataan Teorema Faktor

Misalkan $P(x)$ adalah suatu polinomial dan $c$ adalah bilangan real.

$(x - c)$ merupakan faktor dari $P(x)$ jika dan hanya jika $P(c) = 0$.

Ini adalah pernyataan dua arah:

1. Jika $(x - c)$ adalah faktor dari $P(x)$, maka $P(c) = 0$.

   (Jika suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan lain, sisanya pasti nol).

2. Jika $P(c) = 0$, maka $(x - c)$ adalah faktor dari $P(x)$.

   (Jika nilai polinomial di $x=c$ adalah nol, berarti $(x-c)$ membagi habis polinomial tersebut).

Kaitan dengan Teorema Sisa

Teorema Faktor adalah kasus khusus dari Teorema Sisa. Ingat algoritma pembagian:

Dan dari Teorema Sisa, kita tahu $S = P(c)$.

• Jika $(x - c)$ adalah faktor, artinya $P(x)$ habis dibagi $(x - c)$. Ini hanya terjadi jika sisa pembagiannya nol. Maka, $S = P(c) = 0$.
• Jika $P(c) = 0$, maka $S = 0$. Persamaan menjadi $P(x) = (x - c) \cdot H(x) + 0$, atau $P(x) = (x - c) \cdot H(x)$. Jadi, $(x - c)$ adalah faktor dari $P(x)$.

Menggunakan Teorema Faktor untuk Memfaktorkan Polinomial

Teorema Faktor mengubah pembuat nol yang telah diverifikasi menjadi faktor linier. Dengan mengulangi proses ini, derajat polinomial berkurang sampai polinomial sisanya dapat difaktorkan dalam sistem bilangan yang sedang digunakan.

Langkah-langkah Umum:

1. Cari Pembuat Nol: Coba tebak atau gunakan petunjuk (seperti jumlah koefisien) untuk menemukan nilai $c$ sehingga $P(c) = 0$.

2. Konfirmasi Faktor: Jika $P(c) = 0$, maka berdasarkan Teorema Faktor, $(x - c)$ adalah salah satu faktor dari $P(x)$.

3. Bagi Polinomial: Gunakan metode Horner atau pembagian bersusun untuk membagi $P(x)$ dengan faktor $(x - c)$ yang sudah ditemukan. Hasil baginya adalah $H(x)$.

   $$P(x) = (x - c) \cdot H(x)$$

4. Faktorkan Hasil Bagi: Jika $H(x)$ masih bisa difaktorkan (misalnya jika $H(x)$ adalah polinomial kuadrat atau kubik yang masih bisa dicari akarnya), ulangi proses dari langkah 1 pada $H(x)$.

5. Faktorisasi Lengkap: Tulis $P(x)$ sebagai perkalian dari semua faktor linier yang ditemukan.

Memfaktorkan Polinomial

Misalkan $P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$. Saat $x=1$, nilai $P(1)$ sama dengan jumlah semua koefisien dan konstanta, yaitu $1 + 2 - 13 + 10=0$. Karena itu, $P(1)=0$.

1. Konfirmasi Pembuat Nol:

   Hitung $P(1)$.

   $$P(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 13(1) + 10$$

   $$P(1) = 1 + 2 - 13 + 10$$

   $$P(1) = 0$$

2. Konfirmasi Faktor:

   Karena $P(1) = 0$, maka $(x - 1)$ adalah faktor dari $P(x)$.

3. Bagi Polinomial:

   Kita gunakan metode Horner untuk membagi $P(x)$ dengan $(x - 1)$ ($c = 1$).

   $$\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & 2 & -13 & 10 \\ & & 1 & 3 & -10 \\ \hline & 1 & 3 & -10 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil baginya adalah $H(x) = 1x^2 + 3x - 10 = x^2 + 3x - 10$. Sisa pembagian adalah $0$, sesuai dugaan.

   Jadi, $P(x) = (x - 1)(x^2 + 3x - 10)$.

4. Faktorkan Hasil Bagi:

   Faktorkan polinomial kuadrat $H(x) = x^2 + 3x - 10$.

   $$x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)$$

5. Faktorisasi Lengkap:

   Gabungkan semua faktor.

   $$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 5)$$

Latihan

Misalkan $P(x) = x^3 - 2x^2 - 21x - 18$. Tunjukkan bahwa $P(-1) = 0$, lalu gunakan hasil $P(-1) = 0$ untuk memfaktorkan $P(x)$ secara lengkap. Setelah metode Horner memberi faktor pertama, bagi lagi sampai hasil baginya berderajat dua, lalu faktorkan hasil bagi itu.

Kunci Jawaban

1. Tunjukkan $P(-1) = 0$:

   $$\begin{aligned} P(-1) &= (-1)^3 - 2(-1)^2 \\ &\quad{}- 21(-1) - 18 \end{aligned}$$

   $$P(-1) = -1 - 2(1) + 21 - 18$$

   $$P(-1) = -1 - 2 + 21 - 18$$

   $$P(-1) = -3 + 3 = 0$$

   Terbukti $P(-1) = 0$.

2. Konfirmasi Faktor:

   Karena $P(-1) = 0$, maka $(x - (-1)) = (x + 1)$ adalah faktor dari $P(x)$.

3. Bagi Polinomial (Metode Horner dengan $c = -1$):

   $$\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -2 & -21 & -18 \\ & & -1 & 3 & 18 \\ \hline & 1 & -3 & -18 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil baginya adalah $H(x) = x^2 - 3x - 18$.

   Jadi, $P(x) = (x + 1)(x^2 - 3x - 18)$.

4. Faktorkan Hasil Bagi:

   Faktorkan $H(x) = x^2 - 3x - 18$.

   $$x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)$$

5. Faktorisasi Lengkap:

   $$P(x) = (x + 1)(x - 6)(x + 3)$$