Memahami Teorema Faktor
Ketika kita membagi suatu polinomial dengan , terkadang sisa pembagiannya adalah nol. Kita tahu dari Teorema Sisa bahwa jika sisa pembagiannya nol, maka . Nah, apa artinya jika ?
For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Ketika kita membagi suatu polinomial dengan , terkadang sisa pembagiannya adalah nol. Kita tahu dari Teorema Sisa bahwa jika sisa pembagiannya nol, maka . Nah, apa artinya jika ?
Nilai yang menyebabkan disebut sebagai pembuat nol atau akar dari polinomial . Teorema Faktor menjelaskan hubungan erat antara pembuat nol ini dengan faktor dari polinomial tersebut.
Misalkan adalah suatu polinomial dan adalah bilangan real.
merupakan faktor dari jika dan hanya jika .
Ini adalah pernyataan dua arah:
Jika adalah faktor dari , maka .
(Jika suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan lain, sisanya pasti nol).
Jika , maka adalah faktor dari .
(Jika nilai polinomial di adalah nol, berarti membagi habis polinomial tersebut).
Teorema Faktor sebenarnya adalah kasus khusus dari Teorema Sisa. Ingat algoritma pembagian:
Dan dari Teorema Sisa, kita tahu .
Teorema Faktor sangat berguna untuk mencari faktor-faktor linier dari suatu polinomial dan kemudian memfaktorkannya secara lengkap.
Langkah-langkah Umum:
Cari Pembuat Nol: Coba tebak atau gunakan petunjuk (seperti jumlah koefisien) untuk menemukan nilai sehingga .
Konfirmasi Faktor: Jika , maka berdasarkan Teorema Faktor, adalah salah satu faktor dari .
Bagi Polinomial: Gunakan metode Horner atau pembagian bersusun untuk membagi dengan faktor yang sudah ditemukan. Hasil baginya adalah .
Faktorkan Hasil Bagi: Jika masih bisa difaktorkan (misalnya jika adalah polinomial kuadrat atau kubik yang masih bisa dicari akarnya), ulangi proses dari langkah pada .
Faktorisasi Lengkap: Tulis sebagai perkalian dari semua faktor linier yang ditemukan.
Misalkan . Kita perhatikan bahwa jumlah semua koefisien dan konstanta () adalah . Ini menandakan bahwa .
Konfirmasi Pembuat Nol:
Hitung .
Konfirmasi Faktor:
Karena , maka adalah faktor dari .
Bagi Polinomial:
Kita gunakan metode Horner untuk membagi dengan ().
Faktorkan Hasil Bagi:
Faktorkan polinomial kuadrat .
Faktorisasi Lengkap:
Gabungkan semua faktor.
Misalkan . Tunjukkan bahwa , dan gunakan hal tersebut untuk memfaktorkan secara komplet.
Tunjukkan :
Terbukti .
Konfirmasi Faktor:
Karena , maka adalah faktor dari .
Bagi Polinomial (Metode Horner dengan ):
Faktorkan Hasil Bagi:
Faktorkan .
Faktorisasi Lengkap:
Hasil baginya adalah . Sisa pembagian adalah , sesuai dugaan.
Jadi, .
Hasil baginya adalah .
Jadi, .