Pembagian Polinomial

Hasil Bagi dan Sisa pada Pembagian Bilangan Bulat

Pembagian polinomial mirip dengan pembagian bilangan bulat yang sudah kita kenal. Saat kita membagi satu bilangan dengan bilangan lain, kita mendapatkan hasil bagi dan sisa.

Misalnya, saat membagi $7$ dengan $4$:

• Sebagai pecahan campuran, $\frac{7}{4}$ = $1 \frac{3}{4}$. Hasil bagi bulatnya adalah $1$, sedangkan sisanya $3$.
• Untuk algoritma pembagian, kita menulis bentuk yang setara: $7 = 4 \cdot 1 + 3$.

Di sini:

• $7$ adalah bilangan yang dibagi (dividend)
• $4$ adalah pembagi (divisor)
• $1$ adalah hasil bagi (quotient)
• $3$ adalah sisa (remainder)

Konsep yang sama berlaku untuk polinomial.

Algoritma Pembagian Polinomial

Algoritma pembagian menyatakan hubungan antara polinomial yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa.

Jika $P(x)$ (polinomial yang dibagi) dan $Q(x)$ (polinomial pembagi) adalah dua polinomial, dengan $Q(x) \neq 0$, maka ada polinomial-polinomial $H(x)$ (hasil bagi) dan $S(x)$ (sisa) yang tunggal, sedemikian sehingga:

Bentuk pecahan yang setara adalah:

Identitas polinomial $P=QH+S$ berlaku untuk setiap $x$. Bentuk pecahan hanya terdefinisi pada nilai yang memenuhi $Q(x)\neq0$. Pada kedua bentuk, derajat $S(x)$ harus lebih rendah daripada derajat $Q(x)$, atau $S(x)=0$ jika pembagian tidak bersisa.

Istilah:

• $P(x)$: Polinomial yang dibagi (Dividend)
• $Q(x)$: Polinomial pembagi (Divisor)
• $H(x)$: Hasil bagi (Quotient)
• $S(x)$: Sisa pembagian (Remainder)

Contoh Ilustrasi:

Pembagian $x^3 + 4x^2 + 5x + 8$ oleh $x + 3$ menghasilkan:

• Hasil bagi $H(x) = x^2 + x + 2$
• Sisa $S(x) = 2$

Hasil pembagian dapat ditulis dalam dua bentuk sesuai algoritma:

1. Bentuk pecahan:

   $$\begin{aligned} &\frac{x^3 + 4x^2 + 5x + 8}{x + 3} \\ &= x^2 + x + 2 + \frac{2}{x + 3} \end{aligned}$$

2. Bentuk perkalian:

   $$\begin{aligned} &x^3 + 4x^2 + 5x + 8 \\ &= (x + 3)(x^2 + x + 2) + 2 \end{aligned}$$

Sisa $S(x)=2$ berderajat $0$, lebih rendah daripada derajat pembagi $x+3$, yaitu $1$. Syarat inilah yang menandai bahwa pembagian telah selesai.

Verifikasi Algoritma Pembagian

Kita bisa membuktikan kebenaran bentuk kedua di atas dengan mengalikan hasil bagi dengan pembagi, lalu menambahkan sisanya.

Buktikan bahwa $x^3 + 4x^2 + 5x + 8 = (x + 3)(x^2 + x + 2) + 2$.

Kita jabarkan ruas kanan:

Distribusikan $x+3$:

Distribusikan $x$ dan $3$:

Kelompokkan suku-suku sejenis:

Hasilnya adalah:

Karena ruas kanan sama dengan ruas kiri, maka persamaan terbukti benar.

Latihan

Bagi $P(x)=2x^3-3x^2+4x-5$ dengan $Q(x)=x-2$. Tentukan hasil bagi dan sisanya, lalu verifikasi hasil tersebut menggunakan algoritma pembagian. Susun kembali polinomialnya sebagai $(x-2) \cdot H(x) + S(x)$ dan pastikan setiap sukunya sama. Skema Horner dan pembagian bersusun harus memberi hasil yang sama.

Pembahasan

Karena pembaginya adalah $x-2$, gunakan $c=2$ pada skema Horner:

Hasil baginya adalah $H(x)=2x^2+x+6$ dan sisanya $S(x)=7$. Verifikasi dengan menyusun kembali polinomial yang dibagi:

Jadi,