Perkalian Polinomial

Sifat Distributif untuk Mengalikan Setiap Suku

Sama seperti operasi penjumlahan dan pengurangan polinomial, operasi perkalian pada polinomial juga dapat kita pahami melalui konsep dasar perkalian bilangan dan sifat distributif.

Prinsip utama dalam mengalikan dua polinomial adalah: kalikan setiap suku pada polinomial pertama dengan setiap suku pada polinomial kedua.

Setelah melakukan semua perkalian antar suku, langkah selanjutnya adalah menggabungkan (menjumlahkan atau mengurangkan) suku-suku sejenis untuk menyederhanakan hasilnya.

Metode Perkalian

Ada beberapa cara untuk melakukan perkalian polinomial, namun semuanya berdasar pada sifat distributif. Metode horizontal menuliskan setiap hasil kali parsial dalam satu baris, sedangkan metode tabel menempatkannya pada kotak-kotak sebelum suku sejenis digabungkan.

Metode Distribusi Horizontal

Kalikan setiap suku pada polinomial pertama dengan semua suku pada polinomial kedua, lalu gabungkan suku sejenis.

Contoh 1:

Tentukan hasil perkalian $(x - 5)(x^2 + 3x - 1)$ .

(x - 5)(x^2 + 3x - 1)

Distribusikan $x-5$ :

=x(x^2+3x-1) -5(x^2+3x-1)

Hitung setiap perkalian suku:

\begin{aligned} &=(x\cdot x^2+x\cdot3x+x\cdot(-1)) \\ &\quad{}+(-5\cdot x^2-5\cdot3x-5\cdot(-1)) \end{aligned}

Hitung setiap perkalian suku:

\begin{aligned} &=(x^3+3x^2-x) \\ &\quad{}+(-5x^2-15x+5) \end{aligned}

Hilangkan tanda kurung:

=x^3+3x^2-x -5x^2-15x+5

Kelompokkan suku-suku sejenis:

\begin{aligned} &=x^3+(3x^2-5x^2) \\ &\quad{}+(-x-15x)+5 \end{aligned}

Hasilnya adalah:

= x^3 - 2x^2 - 16x + 5

Contoh 2:

Tentukan hasil perkalian $(x^2 - 2x + 7)(2x - 5)$ .

(x^2 - 2x + 7)(2x - 5)

Distribusikan $x^2-2x+7$ :

\begin{aligned} &=x^2(2x-5)-2x(2x-5) \\ &\quad{}+7(2x-5) \end{aligned}

Hitung setiap perkalian suku:

\begin{aligned} &=(x^2\cdot2x+x^2\cdot(-5)) \\ &\quad{}+(-2x\cdot2x-2x\cdot(-5)) \\ &\quad{}+(7\cdot2x+7\cdot(-5)) \end{aligned}

Hitung setiap perkalian suku:

\begin{aligned} &=(2x^3-5x^2)+(-4x^2+10x) \\ &\quad{}+(14x-35) \end{aligned}

Hilangkan tanda kurung:

=2x^3-5x^2-4x^2 +10x+14x-35

Kelompokkan suku-suku sejenis:

\begin{aligned} &=2x^3+(-5x^2-4x^2) \\ &\quad{}+(10x+14x)-35 \end{aligned}

Hasilnya adalah:

= 2x^3 - 9x^2 + 24x - 35

Metode Tabel dengan Model Luas Daerah

Metode ini mengorganisir perkalian setiap suku menggunakan tabel, mirip dengan cara mencari luas daerah saat mengalikan dua bilangan.

Misalnya, perkalian $16 \times 12$ bisa dilihat sebagai luas persegi panjang dengan sisi $10+6$ dan $10+2$ .

	$10$	$6$
$10$

Total luas adalah $100 + 60 + 20 + 12 = 192$ .

Cara yang sama bisa diterapkan pada polinomial.

Contoh 3:

Tentukan hasil kali $(x + 6)(x + 2)$ menggunakan metode tabel.

	$x$	$+6$
$x$

Sekarang, jumlahkan semua hasil di dalam sel tabel:

x^2 + 6x + 2x + 12

Gabungkan suku sejenis:

= x^2 + (6x + 2x) + 12

Contoh 4:

Tentukan hasil kali $(x - 5)(x^2 + 3x - 1)$ menggunakan metode tabel.

	$x^2$	$+3x$	$-1$

Jumlahkan semua hasil di dalam sel tabel:

x^3 + 3x^2 - x - 5x^2 - 15x + 5

Gabungkan suku sejenis:

\begin{aligned} &= x^3 + (3x^2 - 5x^2) \\ &\quad{}+ (-x - 15x) + 5 \end{aligned}

Kedua metode memberikan hasil yang sama. Metode tabel menyusun hasil kali parsial agar tidak ada suku yang terlewat.

Latihan

Jabarkan dan sederhanakan $(2x-3)(x^2+x-4)$ . Distribusikan kedua suku pada faktor pertama, lalu gabungkan suku-suku yang berpangkat sama. Hasil kali faktor linear dan faktor kuadrat berderajat paling tinggi tiga, sehingga hasilnya tidak memuat pangkat di atas $x^3$ .

Pembahasan

Distribusikan kedua suku pada faktor pertama ke faktor kedua. Tampilkan dahulu semua hasil kali parsial sebelum menggabungkan suku sejenis:

(2x-3)(x^2+x-4)

Kita dapat memeriksa bentuk hasilnya: faktor linear dikalikan faktor kuadrat menghasilkan derajat paling tinggi $3$ , dan hasil kali suku utama $2x\cdot x^2=2x^3$ sama dengan suku utama jawaban.

$x$	$x^3$	$+3x^2$	$-x$
$-5$	$-5x^2$	$-15x$	$+5$