Sistem Persamaan Linear

Nilai Variabel yang Memenuhi Semua Persamaan

Satu nilai total harga dapat berasal dari berbagai kombinasi barang. Informasi lain, seperti jumlah seluruh barang, mempersempit kemungkinan tersebut. Sistem persamaan linear menuliskan setiap informasi sebagai persamaan. Solusinya harus memenuhi semua persamaan sekaligus.

Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang harus dipenuhi secara bersamaan. Setiap persamaan linear berbentuk:

a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b

Di sini $a_1, a_2, \ldots, a_n$ adalah koefisien, $x_1, x_2, \ldots, x_n$ adalah variabel, dan $b$ adalah konstanta.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umumnya:

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Contoh:

\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}

Solusi dari sistem ini adalah pasangan nilai $(x,y)$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sebuah sistem dapat memuat berapa pun jumlah persamaan. Namun, untuk menentukan satu nilai bagi setiap variabel $x,y,z$ , sistem tersebut memerlukan tiga persamaan yang memberikan informasi berbeda. Salah satu bentuk perseginya adalah:

\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}

Contoh:

\begin{cases} x + 2y + 3z = 27 \\ x + y + z = 16 \\ x = 6 \end{cases}

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear diselesaikan dengan menghilangkan satu variabel setiap langkah sampai tersisa satu nilai. Substitusi bekerja dengan mengganti satu variabel dari persamaan lain, sedangkan eliminasi menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan untuk menghapus variabel yang sama.

Metode Substitusi

Pada metode substitusi, nyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain, lalu substitusikan bentuk tersebut ke persamaan yang lain. Contoh berikut menunjukkan setiap langkah metode substitusi.

\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}

Langkah 1: Nyatakan satu variabel dari persamaan yang lebih sederhana.

Dari persamaan (2): $x + y = 10$ , kita nyatakan $x$ dalam bentuk $y$ :

x = 10 - y \ldots (3)

Langkah 2: Substitusi ke persamaan lain.

Masukkan persamaan (3) ke persamaan (1):

2(10 - y) + 3y = 21

Langkah 3: Selesaikan persamaan hasil substitusi.

20 - 2y + 3y = 21

Langkah 4: Substitusikan nilai yang diperoleh untuk mencari variabel lainnya.

Substitusi nilai $y = 1$ dari persamaan (4) ke persamaan (3):

x = 10 - y = 10 - 1 = 9

Jadi solusinya adalah $x = 9$ dan $y = 1$ .

Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi, jumlahkan atau kurangkan dua persamaan untuk menghilangkan satu variabel. Berikut penyelesaian contoh yang sama.

\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}

Langkah 1: Samakan koefisien salah satu variabel.

Kalikan persamaan (2) dengan $2$ untuk menyamakan koefisien $x$ :

\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ 2x + 2y = 20 & \ldots (3) \end{cases}

Langkah 2: Eliminasi variabel dengan mengurangkan persamaan.

Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (1):

(2x + 3y) - (2x + 2y) = 21 - 20

Langkah 3: Gunakan nilai $y$ untuk menemukan $x$ .

Substitusi nilai $y = 1$ dari persamaan (4) ke persamaan (2):

x + 1 = 10

Jadi solusinya adalah $x = 9$ dan $y = 1$ .

Kita dapat memeriksa hasilnya dengan memasukkan nilai $x$ dan $y$ ke kedua persamaan.

Persamaan (1): $2(9) + 3(1) = 18 + 3 = 21$ ✓
Persamaan (2): $9 + 1 = 10$ ✓

Uji Pemahaman

Selesaikan sistem berikut:

\begin{cases} 3x+2y=16 \\ x-y=2 \end{cases}

Pembahasan Lengkap

Persamaan kedua memberi $x=y+2$ . Substitusikan bentuk ini ke persamaan pertama:

3(y+2)+2y=16

Substitusikan kembali ke $x=y+2$ :

x=2+2=4

Kedua persamaan awal mengonfirmasi hasilnya:

3(4)+2(2)=16

Jadi, solusinya adalah $(x,y)=(4,2)$ .

Sistem Persamaan Linear dalam Konteks

Sistem yang diterapkan dimulai dari soal cerita. Deskripsi pada soal harus diterjemahkan menjadi persamaan terlebih dahulu, lalu solusinya diperiksa kembali apakah sudah menjawab pertanyaan awal. Langkah pemodelan inilah yang menghubungkan cerita dengan perhitungan.

Mengubah Soal Cerita menjadi Sistem Persamaan Linear

Untuk mengubah besaran dan hubungan dalam soal cerita menjadi sistem persamaan linear:

Tentukan variabel yang digunakan
Buat model matematika berdasarkan informasi yang ada
Periksa apakah model tersebut merupakan sistem persamaan linear
Selesaikan model dengan metode yang sesuai
Hubungkan nilai setiap variabel dengan masalah awal

Skor dalam Basket

Dalam permainan bola basket, ada tiga jenis lemparan yang bernilai berbeda: lemparan bebas ( $1$ poin), lemparan dalam daerah ( $2$ poin), dan lemparan luar daerah ( $3$ poin).

Misalkan:

$a$ = banyaknya lemparan bernilai $1$ poin
$b$ = banyaknya lemparan bernilai $2$ poin
$c$ = banyaknya lemparan bernilai $3$ poin

Jika Wijaya mencetak $27$ poin, melakukan $16$ lemparan dengan $6$ di antaranya lemparan bebas, maka:

Persamaan berikut berturut-turut menyatakan jumlah poin, jumlah tembakan, dan lemparan bebas:

\begin{cases}a+2b+3c=27\\a+b+c=16\\a=6\end{cases}

Dengan substitusi $a = 6$ ke persamaan kedua:

6 + b + c = 16

Substitusikan $a = 6$ ke persamaan pertama:

6 + 2b + 3c = 27

Dari dua persamaan:

\begin{cases} 2b + 3c = 21 \\ b + c = 10 \end{cases}

Dengan metode eliminasi atau substitusi, diperoleh $b = 9$ dan $c = 1$ .

Jadi, Wijaya melakukan $6$ lemparan bebas, $9$ lemparan $2$ poin, dan $1$ lemparan $3$ poin.

Arti Solusi

Sistem persamaan linear memiliki tiga kemungkinan solusi:

Tepat satu solusi: Ketika garis-garis berpotongan di satu titik (atau bidang-bidang berpotongan di satu titik)
Tidak ada solusi: Ketika garis-garis sejajar (atau bidang-bidang tidak berpotongan)
Banyak solusi: Ketika garis-garis berimpit (atau bidang-bidang berpotongan pada garis atau bidang)

Dalam tiga dimensi, satu persamaan linear merepresentasikan sebuah bidang. Dua bidang berbeda yang tidak sejajar berpotongan pada sebuah garis. Untuk tiga bidang atau lebih, himpunan solusi bersama dapat berupa titik, garis, bidang, atau himpunan kosong.

Visualisasi Sistem Persamaan Linear

Tampilan berikut memperlihatkan dua susunan garis dan bagaimana banyak titik persekutuan menentukan banyak solusinya.

Sistem Persamaan Linear dengan Satu Solusi

Dua garis yang berpotongan di satu titik.

Sistem Persamaan Linear Tanpa Solusi

Dua garis yang sejajar (tidak berpotongan).

Sistem Persamaan Linear dengan Banyak Solusi

Persamaan kedua adalah

2

kali persamaan pertama, sehingga kedua grafik berimpit dan tampak sebagai satu garis. Garis untuk persamaan pertama dibuat lebih lebar agar kedua persamaan tetap terlihat pada lintasan yang sama.

Nilai Variabel yang Memenuhi Semua Persamaan

Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang harus dipenuhi secara bersamaan. Setiap persamaan linear berbentuk:

a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b

Di sini $a_1, a_2, \ldots, a_n$ adalah koefisien, $x_1, x_2, \ldots, x_n$ adalah variabel, dan $b$ adalah konstanta.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umumnya:

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Contoh:

\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}

Solusi dari sistem ini adalah pasangan nilai $(x,y)$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}

Contoh:

\begin{cases} x + 2y + 3z = 27 \\ x + y + z = 16 \\ x = 6 \end{cases}

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Metode Substitusi

Pada metode substitusi, nyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain, lalu substitusikan bentuk tersebut ke persamaan yang lain. Contoh berikut menunjukkan setiap langkah metode substitusi.

\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}

Langkah 1: Nyatakan satu variabel dari persamaan yang lebih sederhana.

Dari persamaan (2): $x + y = 10$ , kita nyatakan $x$ dalam bentuk $y$ :

x = 10 - y \ldots (3)

Langkah 2: Substitusi ke persamaan lain.

Masukkan persamaan (3) ke persamaan (1):

2(10 - y) + 3y = 21

Langkah 3: Selesaikan persamaan hasil substitusi.

20 - 2y + 3y = 21

Langkah 4: Substitusikan nilai yang diperoleh untuk mencari variabel lainnya.

Substitusi nilai $y = 1$ dari persamaan (4) ke persamaan (3):

x = 10 - y = 10 - 1 = 9

Jadi solusinya adalah $x = 9$ dan $y = 1$ .

Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi, jumlahkan atau kurangkan dua persamaan untuk menghilangkan satu variabel. Berikut penyelesaian contoh yang sama.

\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}

Langkah 1: Samakan koefisien salah satu variabel.

Kalikan persamaan (2) dengan $2$ untuk menyamakan koefisien $x$ :

\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ 2x + 2y = 20 & \ldots (3) \end{cases}

Langkah 2: Eliminasi variabel dengan mengurangkan persamaan.

Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (1):

(2x + 3y) - (2x + 2y) = 21 - 20

Langkah 3: Gunakan nilai $y$ untuk menemukan $x$ .

Substitusi nilai $y = 1$ dari persamaan (4) ke persamaan (2):

x + 1 = 10

Jadi solusinya adalah $x = 9$ dan $y = 1$ .

Kita dapat memeriksa hasilnya dengan memasukkan nilai $x$ dan $y$ ke kedua persamaan.

Persamaan (1): $2(9) + 3(1) = 18 + 3 = 21$ ✓
Persamaan (2): $9 + 1 = 10$ ✓

Uji Pemahaman

Selesaikan sistem berikut:

\begin{cases} 3x+2y=16 \\ x-y=2 \end{cases}

Pembahasan Lengkap

Persamaan kedua memberi $x=y+2$ . Substitusikan bentuk ini ke persamaan pertama:

3(y+2)+2y=16

Substitusikan kembali ke $x=y+2$ :

x=2+2=4

Kedua persamaan awal mengonfirmasi hasilnya:

3(4)+2(2)=16

Jadi, solusinya adalah $(x,y)=(4,2)$ .

Sistem Persamaan Linear dalam Konteks

Mengubah Soal Cerita menjadi Sistem Persamaan Linear

Untuk mengubah besaran dan hubungan dalam soal cerita menjadi sistem persamaan linear:

Tentukan variabel yang digunakan
Buat model matematika berdasarkan informasi yang ada
Periksa apakah model tersebut merupakan sistem persamaan linear
Selesaikan model dengan metode yang sesuai
Hubungkan nilai setiap variabel dengan masalah awal

Skor dalam Basket

Dalam permainan bola basket, ada tiga jenis lemparan yang bernilai berbeda: lemparan bebas ( $1$ poin), lemparan dalam daerah ( $2$ poin), dan lemparan luar daerah ( $3$ poin).

Misalkan:

$a$ = banyaknya lemparan bernilai $1$ poin
$b$ = banyaknya lemparan bernilai $2$ poin
$c$ = banyaknya lemparan bernilai $3$ poin

Jika Wijaya mencetak $27$ poin, melakukan $16$ lemparan dengan $6$ di antaranya lemparan bebas, maka:

Persamaan berikut berturut-turut menyatakan jumlah poin, jumlah tembakan, dan lemparan bebas:

\begin{cases}a+2b+3c=27\\a+b+c=16\\a=6\end{cases}

Dengan substitusi $a = 6$ ke persamaan kedua:

6 + b + c = 16

Substitusikan $a = 6$ ke persamaan pertama:

6 + 2b + 3c = 27

Dari dua persamaan:

\begin{cases} 2b + 3c = 21 \\ b + c = 10 \end{cases}

Dengan metode eliminasi atau substitusi, diperoleh $b = 9$ dan $c = 1$ .

Jadi, Wijaya melakukan $6$ lemparan bebas, $9$ lemparan $2$ poin, dan $1$ lemparan $3$ poin.

Arti Solusi

Sistem persamaan linear memiliki tiga kemungkinan solusi:

Tepat satu solusi: Ketika garis-garis berpotongan di satu titik (atau bidang-bidang berpotongan di satu titik)
Tidak ada solusi: Ketika garis-garis sejajar (atau bidang-bidang tidak berpotongan)
Banyak solusi: Ketika garis-garis berimpit (atau bidang-bidang berpotongan pada garis atau bidang)

Visualisasi Sistem Persamaan Linear

Tampilan berikut memperlihatkan dua susunan garis dan bagaimana banyak titik persekutuan menentukan banyak solusinya.

Sistem Persamaan Linear dengan Satu Solusi

Dua garis yang berpotongan di satu titik.

Sistem Persamaan Linear Tanpa Solusi

Dua garis yang sejajar (tidak berpotongan).

Sistem Persamaan Linear dengan Banyak Solusi

Persamaan kedua adalah

2

kali persamaan pertama, sehingga kedua grafik berimpit dan tampak sebagai satu garis. Garis untuk persamaan pertama dibuat lebih lebar agar kedua persamaan tetap terlihat pada lintasan yang sama.