Sistem Pertidaksamaan Linear

Solusi yang Memenuhi Semua Pertidaksamaan

Sebuah rencana dapat dibatasi oleh anggaran sekaligus harus memenuhi jumlah peserta minimum. Setiap syarat mengurangi pilihan yang mungkin. Sistem pertidaksamaan linear menggambarkan pilihan yang memenuhi seluruh syarat secara bersamaan.

Sistem Pertidaksamaan Linear

Sistem pertidaksamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi secara bersamaan. Sebagai contoh, batas atas dinyatakan dengan bentuk:

Batas bawah menggunakan tanda perbandingan sebaliknya:

Pada bentuk ini, $a_1, a_2, ..., a_n$ adalah koefisien, $x_1, x_2, ..., x_n$ adalah variabel, $b$ adalah konstanta, dan tanda ketidaksamaannya dapat berupa $\leq, \geq, <, >$.

Perbedaan utama antara persamaan linear dan pertidaksamaan linear terletak pada hubungan antara kedua ruasnya:

• Persamaan linear menyatakan bahwa dua bentuk bernilai sama ($=$)
• Pertidaksamaan linear membandingkan dua bentuk ($\leq, \geq, <, >$)

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan dengan dua variabel (biasanya $x$ dan $y$):

Contoh:

Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan nilai $(x,y)$ yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan.

Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel, kita menggunakan metode grafik. Setiap pertidaksamaan menjadi satu setengah bidang, dan solusinya adalah daerah tempat semua setengah bidang itu bertumpuk. Langkah di bawah menyusun daerah tersebut secara berurutan.

Gambarkan Garis Batas

Untuk setiap pertidaksamaan, gambarkan garis batasnya dengan mengubah tanda ketidaksamaan menjadi tanda sama dengan.

Contoh:

Untuk sistem:

Gambarkan garis:

Tentukan Daerah Hasil

Untuk menentukan daerah hasil setiap pertidaksamaan:

1. Ambil titik uji (misal titik origin $(0,0)$ jika bukan titik pada garis)
2. Substitusikan ke pertidaksamaan
3. Jika hasilnya benar, daerah yang memuat titik uji adalah daerah hasil
4. Jika hasilnya salah, daerah yang tidak memuat titik uji adalah daerah hasil

Contoh:

Untuk $2x + 5y < 10$, cek titik $(0, 0)$:

(benar)

Daerah hasil adalah bagian yang memuat titik $(0, 0)$, yaitu di bawah garis $2x + 5y = 10$.

Untuk $6x + 2y > 10$, cek titik $(0, 0)$:

(salah)

Daerah hasil adalah bagian yang tidak memuat titik $(0, 0)$, yaitu di atas garis $6x + 2y = 10$.

Tentukan Irisan Daerah Hasil

Solusi sistem pertidaksamaan linear adalah irisan dari semua daerah hasil pertidaksamaan yang terlibat, yaitu daerah yang sama-sama dipenuhi semua syarat. Sebuah titik termasuk solusi hanya jika memenuhi seluruh pertidaksamaan sekaligus, sehingga menguji satu titik sudut sudah menjadi pemeriksaan cepat.

Penggambaran Grafik

Ketika menggambar grafik pertidaksamaan linear:

• Untuk $\leq$ atau $\geq$: gunakan garis utuh (daerah hasil termasuk titik-titik pada garis)
• Untuk $<$ atau $>$: gunakan garis putus-putus (daerah hasil tidak termasuk titik-titik pada garis)
• Daerah hasil diarsir untuk menunjukkan solusi

Uji Pemahaman

Tentukan apakah $(2,3)$ dan $(1,5)$ termasuk dalam himpunan solusi.

Pembahasan Lengkap

Substitusikan $(2,3)$ ke kedua pertidaksamaan:

Kedua pernyataan benar, sehingga $(2,3)$ adalah solusi.

Sekarang uji $(1,5)$:

Pernyataan kedua salah, sehingga $(1,5)$ bukan solusi. Kedua garis batas berpotongan di $(2,4)$, tetapi titik itu hanya salah satu bagian solusi. Solusi lengkapnya adalah seluruh daerah irisan, termasuk kedua garis batas yang utuh.

Memodelkan Pilihan yang Memenuhi Syarat

Sistem pertidaksamaan linear menjelaskan himpunan kombinasi yang boleh dipilih bersama-sama. Pertidaksamaan menghasilkan daerah, dan penyelesaiannya diperiksa dengan mengambil satu titik uji di dalam daerah itu.

Memodelkan Pilihan Layak dengan Pertidaksamaan

Sistem pertidaksamaan linear menggambarkan pilihan layak dalam masalah optimasi, seperti:

• Masalah dalam produksi dengan batasan sumber daya
• Perencanaan anggaran dengan batasan biaya
• Perencanaan nutrisi dengan batasan kalori

Model optimasi juga memerlukan fungsi tujuan, misalnya meminimalkan biaya atau memaksimalkan hasil. Pertidaksamaan hanya menentukan pilihan mana yang diperbolehkan.

Perencanaan Kegiatan

Kiki adalah panitia perayaan hari kemerdekaan di RT. Dari kas RT ada uang sebesar $\text{Rp}500{.}000{,}00$ yang dapat digunakan. Untuk penyelenggaraan perlombaan, dibutuhkan $\text{Rp}20{.}000{,}00$ per anak. Hadiah untuk pemenang dianggarkan $\text{Rp}40{.}000{,}00$ untuk setiap jenis perlombaan. Diharapkan ada lebih dari $13$ anak yang berpartisipasi.

Misalkan:

• $x$ = banyaknya peserta
• $y$ = banyaknya perlombaan

Model matematikanya adalah:

Jika kita sederhanakan:

Grafik menunjukkan daerah layak yang kontinu. Karena peserta dan perlombaan dihitung dalam bilangan bulat, rencana yang valid adalah titik-titik bilangan bulat positif di dalam daerah tersebut.

Strategi Penyelesaian Masalah

Untuk menyelesaikan masalah sistem pertidaksamaan linear:

1. Tentukan variabel yang digunakan
2. Buat model matematika berdasarkan batasan-batasan yang ada
3. Selesaikan sistem dengan metode grafik
4. Hubungkan daerah solusi dengan batasan dalam masalah awal

Perbedaan dengan Sistem Persamaan Linear

Kedua jenis sistem berbeda pada apa yang dianggap sebagai jawaban. Tabel berikut membandingkan tanda operasi, bentuk solusi, dan bentuk grafiknya.

Visualisasi Interaktif Sistem Pertidaksamaan Linear

Setiap pertidaksamaan menentukan satu setengah bidang yang diperbolehkan. Jika ada beberapa pertidaksamaan, hanya irisan setengah bidang tersebut yang memenuhi seluruh syarat.

Visualisasi interaktif berikut menunjukkan irisan tersebut secara langsung.

Contoh Sistem Pertidaksamaan

Sistem ini memuat dua pertidaksamaan, dan tiap pertidaksamaan menghasilkan satu daerah:

Pada visualisasi di bawah, daerah berwarna jingga menunjukkan solusi dari $x + y \leq 10$ (semua titik di bawah atau pada garis $x + y = 10$).

Daerah berwarna ungu menunjukkan solusi dari $15x + 9y \geq 120$ (semua titik di atas atau pada garis $15x + 9y = 120$).

Irisan kedua daerah adalah solusi dari sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Cara Membaca Visualisasi

Dalam visualisasi interaktif ini:

1. Garis batas menunjukkan persamaan (misal: $x + y = 10$ dan $15x + 9y = 120$)
2. Daerah berwarna menunjukkan solusi dari masing-masing pertidaksamaan
3. Daerah irisan (yang memenuhi semua pertidaksamaan) adalah solusi sistem pertidaksamaan

Kedua garis batas berpotongan di $(5,5)$. Titik ini membentuk salah satu sudut himpunan layak. Daerah yang diarsir memuat seluruh penyelesaiannya.

Urutan membaca yang sama berlaku pada soal cerita: gambarkan setiap syarat, pilih sisi yang diperbolehkan, lalu ambil daerah irisannya.