Jangkauan Interkuartil

Sebaran Separuh Data di Tengah

Mean menggambarkan pusat suatu kumpulan data, tetapi tidak menunjukkan sebarannya. Dua kelompok dapat memiliki rata-rata umur yang sama meskipun penyebaran umurnya sangat berbeda.

Jangkauan interkuartil (interquartile range) ($\mathrm{IQR}$) mengukur sebaran tersebut dengan berfokus pada $50\%$ data di tengah setelah data diurutkan.

Mengapa berfokus pada bagian tengah? Nilai yang sangat kecil atau besar dapat mendominasi ukuran seperti jangkauan penuh. Sebagian nilai tersebut dapat digolongkan sebagai pencilan berdasarkan aturan yang dinyatakan atau pertimbangan bidang kajian. $\mathrm{IQR}$ tidak terlalu peka terhadap nilai ekstrem tersebut.

Rumusnya adalah:

• $Q_3$ adalah kuartil atas (nilai yang membatasi $75\%$ data terbawah).
• $Q_1$ adalah kuartil bawah (nilai yang membatasi $25\%$ data terbawah).

Jadi, $\mathrm{IQR}$ itu selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.

Membandingkan Sebaran Umur

Perhatikan dua kelompok yang memiliki mean sama, tetapi sebaran sangat berbeda.

Ada dua kelompok, masing-masing $12 \text{ orang}$. Kita lihat data umurnya dalam tabel berikut:

Kita akan membandingkan mean, kuartil, jangkauan, dan jangkauan interkuartilnya.

Menghitung Mean dan Kuartil

1. Mean (Rata-rata):

   Kalau kamu hitung rata-rata umur kedua kelompok, hasilnya sama persis, yaitu $16 \text{ tahun}$.

   Kelompok 1:

   Jumlahkan kedua belas nilai dahulu, lalu bagi dengan dua belas:

   $$\begin{aligned} &13+14+15+15 \\ &\quad{}+16+16+17+17 \\ &\quad{}+17+17+17+18 \\ &=192 \end{aligned}$$

   $$\frac{192}{12}=16$$

   Kelompok 2:

   Jumlahkan kedua belas nilai terlebih dahulu, lalu bagi jumlahnya dengan dua belas.

   $$\begin{aligned}&1+3+4+5\\&{}+7+8+12+27\\&{}+28+29+32+36=192\end{aligned}$$

   $$\frac{192}{12}=16$$

2. Kuartil ($Q_1$ dan $Q_3$):

   Setelah data diurutkan (seperti dalam tabel di atas), kita cari posisi kuartil.

   Kelompok Pertama ($n=12$): Letak $Q_1$ ada di data ke-$\frac{1}{4}(12+1) = 3{,}25$. Ini berarti $Q_1$ ada di antara data ke-$3$ ($15$) dan data ke-$4$ ($15$). Karena kedua data sama, maka

   $$Q_1 = 15$$

   Letak $Q_3$ ada di data ke-$\frac{3}{4}(12+1) = 9{,}75$. Ini berarti $Q_3$ ada di antara data ke-$9$ ($17$) dan data ke-$10$ ($17$). Karena kedua data sama, maka

   $$Q_3 = 17$$

   Kelompok Kedua ($n=12$): Posisi $Q_1$ adalah $3{,}25$. Posisi ini berada seperempat jarak dari nilai ke-$3$ ($4$) menuju nilai ke-$4$ ($5$), sehingga bobot interpolasinya $0{,}25$:

   $$Q_1 = 4 + 0{,}25(5-4) = 4{,}25$$

   Posisi $Q_3$ adalah $9{,}75$. Posisi ini berada tiga perempat jarak dari nilai ke-$9$ ($28$) menuju nilai ke-$10$ ($29$), sehingga bobot interpolasinya $0{,}75$:

   $$Q_3 = 28 + 0{,}75(29-28) = 28{,}75$$

Menghitung Jangkauan dan Simpangan Antarkuartil

Berikutnya, hitung ukuran penyebarannya.

1. Jangkauan (Range):

   $\text{Range} = \text{Nilai maksimum} - \text{Nilai minimum}$

   • Range Kelompok Pertama adalah $18 - 13 = 5$

   • Range Kelompok Kedua adalah $36 - 1 = 35$

     Jangkauan penuh sudah menunjukkan bahwa nilai ekstrem Kelompok Kedua tersebar jauh lebih lebar.

2. Jangkauan Interkuartil ($\mathrm{IQR}$):

   $\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$

   • $\mathrm{IQR}$ Kelompok Pertama adalah $17 - 15 = 2$

   • $\mathrm{IQR}$ Kelompok Kedua adalah $28{,}75 - 4{,}25 = 24{,}5$

     Sebaran separuh tengah kedua kelompok juga sangat berbeda.

Arti Hasil

Rangkum dalam tabel agar mudah dibandingkan:

• Kedua kelompok memiliki rata-rata umur yang sama, yaitu $16$.
• Kelompok pertama memiliki jangkauan $5$ dan $\mathrm{IQR}$ $2$. Separuh data di tengah berada di antara $Q_1=15$ dan $Q_3=17$, sehingga rentangnya hanya $2\text{ tahun}$.
• Kelompok kedua memiliki jangkauan $35$ dan $\mathrm{IQR}$ $24{,}5$. Separuh data di tengah berada di antara $Q_1=4{,}25$ dan $Q_3=28{,}75$, sehingga rentangnya $24{,}5\text{ tahun}$.

Dua kumpulan data dapat memiliki rata-rata yang sama, tetapi sebaran yang berbeda. $\mathrm{IQR}$ mengukur lebar separuh data bagian tengah dan tidak mudah berubah karena nilai ekstrem sebab seperempat data terbawah dan teratas tidak ikut dihitung.