Kuartil Data Tunggal

Tiga Batas untuk Membagi Peringkat Data

Median menandai bagian tengah data terurut pada $50\%$. Kuartil memperluas gagasan tersebut dengan menandai tiga posisi pada data terurut.

Ketiga posisi itu membagi distribusi berdasarkan peringkat menjadi empat bagian yang masing-masing mewakili sekitar seperempat pengamatan. Pada data berhingga atau data yang memuat nilai sama, keempat bagian tersebut tidak harus tampak sebagai kelompok berbeda dengan jumlah titik yang persis sama.

Ada tiga batas kuartil:

1. Kuartil Bawah ($Q_1$): Batas pada sekitar peringkat $25\%$.
2. Kuartil Tengah ($Q_2$): Median, pada sekitar peringkat $50\%$.
3. Kuartil Atas ($Q_3$): Batas pada sekitar peringkat $75\%$.

Secara bersama, $Q_1$, $Q_2$, dan $Q_3$ menggambarkan seperempat bawah, pusat, dan seperempat atas suatu distribusi terurut.

Cara Mencari Letak Kuartil

Bagaimana cara menentukan posisi peringkat $Q_1$, $Q_2$, dan $Q_3$ pada data terurut?

Anggap kita punya $n$ data yang sudah diurutkan dari nilai terkecil sampai nilai terbesar.

Kuartil dapat ditentukan dengan beberapa konvensi peringkat yang sama-sama sah. Karena itu, perangkat lunak yang berbeda bisa menghasilkan nilai yang sedikit berbeda untuk satu kumpulan data kecil. Perhitungan berikut menggunakan posisi interpolasi $p(n+1)$ secara konsisten, dengan $p$ bernilai $\frac14$, $\frac12$, atau $\frac34$. Posisi di bawah $1$ dibatasi pada nilai minimum, sedangkan posisi di atas $n$ dibatasi pada nilai maksimum. Agar hasil dapat dibandingkan, hitung semua kuartil dengan konvensi yang sama.

Kuartil Bawah

Untuk kuartil bawah:

• Kalau hasilnya angka bulat, misalnya $5$, berarti $Q_1$ itu nilai data di urutan ke-$5$.
• Kalau hasilnya berupa desimal, misalnya $5{,}25$, berarti $Q_1$ berada di antara posisi $5$ dan $6$. Nilai interpolasinya akan kita hitung nanti. Untuk sekarang, kita tentukan letaknya terlebih dahulu.

Contoh:

Misalnya kita punya $20$ data ($n=20$).

Letak $Q_1$ adalah data ke-$\frac{1}{4}(20+1)$, yaitu data ke-$\frac{21}{4}$ atau data ke-$5{,}25$.

Artinya, $Q_1$ ada di antara data ke-$5$ dan data ke-$6$.

Kuartil Tengah

Kuartil tengah adalah median:

Gunakan aturan yang sama seperti pada $Q_1$:

• Jika letaknya bilangan bulat, misalnya $10$, $Q_2$ adalah nilai data ke-$10$.
• Jika letaknya berada di antara dua indeks, misalnya $10{,}5$, $Q_2$ berada di antara data ke-$10$ dan data ke-$11$.

Contoh ($n=20$):

Letak $Q_2$ adalah data ke-$\frac{1}{2}(20+1)$, yaitu data ke-$\frac{21}{2}$ atau data ke-$10{,}5$.

Artinya, $Q_2$ (median) ada di antara data ke-$10$ dan data ke-$11$.

Kuartil Atas

Letak kuartil atas memakai pola yang sama, dengan faktor $\frac{3}{4}$.

Aturan interpolasi yang sama tetap berlaku:

• Kalau hasilnya angka bulat, misal $15$, $Q_3$ itu nilai data ke-$15$.
• Kalau hasilnya angka pakai koma, misal $15{,}75$, $Q_3$ ada di antara data ke-$15$ dan data ke-$16$.

Contoh ($n=20$):

Letak $Q_3$ adalah data ke-$\frac{3}{4}(20+1)$, yaitu data ke-$\frac{63}{4}$ atau data ke-$15{,}75$.

Artinya, $Q_3$ ada di antara data ke-$15$ dan data ke-$16$.

Latihan dengan pembahasan

Coba cari letak $Q_1$, $Q_2$, dan $Q_3$ dari data nilai ulangan matematika $7$ anak ini:

Nilai: $7, 5, 8, 6, 9, 7, 10$

Coba kerjakan sendiri terlebih dahulu. Setelah itu, bandingkan alur berpikirmu dengan pembahasan lengkap di bawah.

Langkah 1: Urutkan data dulu!

Data terurut: $5, 6, 7, 7, 8, 9, 10$

Banyak data: $n = 7$

Langkah 2: Cari letak kuartil pakai rumus

• Letak $Q_1$:

  $$\begin{aligned}\frac{1}{4}(n+1) &= \frac{1}{4}(7+1) \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}$$

  Hasilnya bulat ($2$), jadi $Q_1$ adalah data ke-$2$.

• Letak $Q_2$ (Median):

  $$\begin{aligned}\frac{1}{2}(n+1) &= \frac{1}{2}(7+1) \\ &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}$$

  Hasilnya bulat ($4$), jadi $Q_2$ adalah data ke-$4$.

• Letak $Q_3$:

  $$\begin{aligned}\frac{3}{4}(n+1) &= \frac{3}{4}(7+1) \\ &= \frac{24}{4} \\ &= 6\end{aligned}$$

  Hasilnya bulat ($6$), jadi $Q_3$ adalah data ke-$6$.

Langkah 3: Tentukan nilai kuartilnya

Dengan data terurut dari Langkah 1:

• $Q_1$ = Data ke-$2$ = $6$
• $Q_2$ = Data ke-$4$ = $7$
• $Q_3$ = Data ke-$6$ = $9$

Kuartil Keempat

Kuartil membagi data terurut menjadi empat bagian. $Q_1$, $Q_2$, dan $Q_3$ menandai batas pada $25\%$, $50\%$, dan $75\%$. Batas terluar pada $100\%$ adalah nilai maksimum.

Nilai maksimum kadang diberi lambang $Q_4$, sedangkan nilai minimum kadang diberi lambang $Q_0$. Dalam ringkasan statistik, keduanya biasanya disebut langsung sebagai nilai minimum dan maksimum. Notasi kuartil umumnya dipakai untuk $Q_1$, $Q_2$, dan $Q_3$.