Rata-rata Aritmetika

Rata-rata sebagai Pembagian yang Merata

Selain median (nilai tengah) dan modus (nilai yang paling sering muncul), mean, atau rata-rata, merupakan cara lain untuk menggambarkan pusat suatu kumpulan data.

Mean adalah nilai yang diterima setiap anggota jika kita membagikan jumlah total secara merata. Bayangkan semua permen milik teman-temanmu dikumpulkan, lalu dibagikan kembali sama banyak. Jumlah yang diterima tiap orang itulah mean.

Cara menghitung mean

Untuk menghitung mean:

1. Jumlahkan semua nilai data.
2. Bagi hasilnya dengan banyaknya data.

Rumus mean:

Pada rumus ini:

• $\bar{x}$, dibaca "x bar", melambangkan mean.
• $\sum x$, dibaca "sigma x", melambangkan jumlah seluruh nilai data.
• $n$ adalah banyaknya data.

Pengaruh Nilai Besar terhadap Rata-rata Median dan Modus

Kumpulan data yang sama akan kita pakai untuk membandingkan mean, median, dan modus sebelum dan sesudah dua nilai yang jauh lebih besar ditambahkan. Ketiga ukuran itu tidak bereaksi dengan cara yang sama, dan perbandingan ini menunjukkan ukuran mana yang tetap menggambarkan nilai yang khas.

Pengumpulan Pakaian untuk Kegiatan Sosial

Situasi awal:

Sepuluh anggota OSIS Sekolah A mengumpulkan pakaian layak pakai untuk kegiatan sosial. Jumlah pakaian yang dikumpulkan tiap anggota adalah:

Mencari mean, median, dan modus awal:

1. Urutkan data (untuk median dan modus):

   $3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ (ada $10 \text{ data}$, $n = 10$)

2. Hitung mean:

   $$\begin{aligned} \sum x &= 3+3+4+5+5 \\ &\quad+6+7+8+9+10 \\ &= 60 \end{aligned}$$

   $$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{60}{10} = 6$$

   Jadi, mean awal adalah $6$.

3. Cari median:

   Jumlah data genap ($n = 10$). Data tengah ada di urutan ke-$10/2 = 5$ dan ke-$(10/2)+1 = 6$.

   Nilai urutan ke-$5$ adalah $5$, dan nilai urutan ke-$6$ adalah $6$.

   $$\text{Median} = \frac{5+6}{2} = 5{,}5$$

   Jadi, median awal adalah $5{,}5$.

4. Cari modus:

   Nilai yang paling sering muncul adalah $3$ ($2 \text{ kali}$) dan $5$ ($2 \text{ kali}$).

   Jadi, modus awal adalah $3$ dan $5$ (bimodal).

Situasi baru:

Keesokan harinya, $2 \text{ siswa}$ lain ikut menyumbang $20$ dan $22$ baju.

Data baru menjadi:

Mencari mean, median, dan modus baru:

1. Urutkan data:

   $3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 22$ (ada $12 \text{ data}$, $n = 12$)

2. Hitung mean baru:

   $$\sum x = 60 + 20 + 22 = 102$$

   $$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{102}{12} = 8{,}5$$

   Jadi, mean baru adalah $8{,}5$.

3. Cari median baru:

   Jumlah data genap ($n=12$). Data tengah ada di urutan ke-$12/2 = 6$ dan ke-$(12/2)+1 = 7$.

   Nilai urutan ke-$6$ adalah $6$, nilai urutan ke-$7$ adalah $7$.

   $$\text{Median} = \frac{6+7}{2} = 6{,}5$$

   Jadi, median baru adalah $6{,}5$.

4. Cari modus baru:

   Nilai yang paling sering muncul masih $3$ ($2 \text{ kali}$) dan $5$ ($2 \text{ kali}$).

   Jadi, modus baru adalah $3$ dan $5$.

Pengaruh Penambahan Data

Coba perhatikan perubahan nilai ukuran pemusatan dari situasi awal ke situasi baru:

• Mean: Berubah dari $6$ menjadi $8{,}5$ (naik $2{,}5$).
• Median: Berubah dari $5{,}5$ menjadi $6{,}5$ (naik $1$).
• Modus: Tetap $3$ dan $5$ (tidak berubah).

Penambahan $20$ dan $22$, dua nilai yang jauh di atas data awal, memberi pengaruh terbesar pada mean. Kedua nilai besar itu menaikkan mean.

Median juga berubah, tetapi tidak setajam mean. Modus sama sekali tidak berubah.

Pengaruh Satu Nilai Ekstrem

Ganti sumbangan siswa ke-$12$ dengan $100 \text{ baju}$, lalu hitung kembali mean untuk mengukur pengaruh nilai yang jauh lebih besar ini.

Data menjadi: $3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 100$ ($n=12$)

1. Hitung mean:

   $$\sum x = 60 + 20 + 100 = 180$$

   $$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{180}{12} = 15$$

   Mean menjadi $15$, jauh di atas mean awal ($6$) maupun mean sebelumnya ($8{,}5$).

2. Cari median:

   Data urut: $3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 100$

   Median tetap $(6+7)/2 = 6{,}5$, sama seperti sebelumnya.

3. Cari modus:

   Modus tetap $3$ dan $5$.

Dalam contoh ini, nilai $100$ sangat menaikkan mean, sedangkan median dan modus tetap. Artinya, mean mudah berubah ketika data memuat nilai ekstrem. Nilai ekstrem baru disebut pencilan (outlier) jika memenuhi aturan statistik atau pertimbangan bidang yang digunakan.