Persentil Data Kelompok

Membagi Peringkat Data Menjadi Seratus Bagian

Kamu sudah mengenal kuartil yang membagi data terurut menjadi $4$ bagian dengan banyak data yang sama. Persentil melanjutkan gagasan tersebut.

Persentil membagi posisi data terurut menjadi $100$ bagian dengan banyak data yang sama. Setiap bagian memuat proporsi data yang sama, tetapi rentang nilai setiap bagian belum tentu sama lebar.

Sebanyak $99$ titik batas bagian dalam biasanya ditulis sebagai $P_1$, $P_2$, $P_3$, ..., hingga $P_{99}$. Nilai angkanya dapat berbeda menurut konvensi persentil, terutama pada sampel kecil.

• $P_{10}$ (persentil ke-$10$) menandai nilai yang membatasi sekitar $10\%$ data pada atau di bawahnya dan $90\%$ data di atasnya.
• $P_{50}$ (persentil ke-$50$) sama dengan median atau kuartil kedua ($Q_2$ ). Nilai ini menandai peringkat tengah distribusi. Jika ada nilai yang sama, belum tentu tepat setengah pengamatan berada secara ketat pada setiap sisinya.
• $P_{85}$ (persentil ke-$85$) menandai nilai yang membatasi sekitar $85\%$ data pada atau di bawahnya dan $15\%$ data di atasnya.

Persentil menunjukkan posisi relatif suatu nilai dalam distribusi. Contohnya, persentil dapat membandingkan nilai ujian dengan nilai satu angkatan atau ukuran pertumbuhan anak dengan kelompok acuan yang sesuai.

Cara Mencari Nilai Persentil Data Kelompok

Seperti pada kuartil, data kelompok memerlukan interpolasi untuk memperkirakan nilai persentil $P_i$ di dalam kelasnya. Caranya terdiri dari dua tahap: temukan kelas yang memuat peringkat yang dicari, lalu lakukan interpolasi di dalam kelas tersebut. Tabel contoh di bawah menerapkan kedua tahap itu pada data yang sama.

Cari Letak Kelas Persentil

Pertama, tentukan posisi yang berkaitan dengan persentil ke-$i$:

• $i$ = nomor persentil, misalnya $10, 50, 85$
• $n$ = frekuensi total

Berikutnya, gunakan kolom frekuensi kumulatif $F_k$ untuk menemukan kelas interval yang memuat posisi tersebut.

Hitung Nilai Persentil dengan Rumus Interpolasi

Setelah kelas persentil diketahui, lakukan interpolasi di dalamnya:

Pada rumus ini:

• $P_i$ = perkiraan nilai persentil yang dicari
• $T_b$ = tepi bawah kelas persentil
• $i$ = nomor persentil, misalnya $10, 85$
• $n$ = frekuensi total
• $F_{\text{kum}}$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil
• $f_i$ = frekuensi kelas persentil
• $p$ = panjang kelas

Rumus ini sama dengan rumus interpolasi kuartil, tetapi menggunakan $\frac{i}{100}n$ sebagai pengganti $\frac{i}{4}n$.

Interpolasi ini menganggap data tersebar merata di dalam kelas terpilih. Hasilnya adalah perkiraan persentil dari interval kelompok. Tabel data kelompok tidak menyimpan nilai asli setiap pengamatan, sehingga interpolasi tidak dapat mengembalikan nilai-nilai tersebut.

Mencari Nilai Ujian Matematika

Tabel berikut mengelompokkan nilai ujian matematika dari $40 \text{ siswa}$:

Kita akan memperkirakan persentil ke-$85$, yaitu $P_{85}$.

1. Cari Letak $P_{85}$:

   Letak $P_{85}$ adalah data ke-$\frac{85}{100} \times 40 = \frac{3400}{100} = 34$.

2. Tentukan Kelas $P_{85}$:

   Frekuensi kumulatifnya adalah $F_k = 30$ sampai kelas $81\text{-}90$ dan $F_k = 40$ sampai kelas $91\text{-}100$. Posisi $31$ hingga $40$ berarti berada di kelas terakhir, sehingga kelas $P_{85}$ adalah $91\text{-}100$.

3. Catat nilai dalam rumus:

   • $T_b$ (Tepi bawah kelas $91\text{-}100$) adalah $90{,}5$
   • $i = 85$
   • $n = 40$
   • $F_{\text{kum}}$ (Frekuensi kumulatif sebelum kelas $91\text{-}100$) = $30$
   • $f_{85}$ (Frekuensi kelas $91\text{-}100$) adalah $10$
   • $p$ (Panjang kelas) adalah $10$

4. Hitung $P_{85}$:

   $$P_{85} = T_b + \left( \frac{\frac{85}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{85}} \right) p$$

   $$P_{85} = 90{,}5 + \left( \frac{34 - 30}{10} \right) 10$$

   $$P_{85} = 90{,}5 + \left( \frac{4}{10} \right) 10$$

   $$P_{85} = 90{,}5 + 4$$

   $$P_{85} = 94{,}5$$

Perkiraan persentil ke-$85$ adalah $94{,}5$. Dalam model interpolasi data kelompok, sekitar $85\%$ nilai berada pada atau di bawah $94{,}5$, sedangkan sekitar $15\%$ berada di atasnya.

Latihan

Sebelum membaca pembahasan, perkirakan persentil ke-$20$, yaitu $P_{20}$, dari tabel yang sama. Tuliskan kelas yang kamu pilih dan kedua batas yang dipakai untuk interpolasi, karena kedua hal itu paling sering menjadi sumber kesalahan.

Pembahasan

1. Letak $P_{20}$:

   Letak $P_{20}$ adalah data ke-$\frac{20}{100} \times 40 = \frac{800}{100} = 8$.

2. Kelas $P_{20}$:

   Lihat $F_k$. Data ke-$8$ ada di kelas $71\text{-}80$ (karena $F_k$ kelas sebelumnya $4$, dan $F_k$ kelas ini $14$).

3. Nilai dalam rumus:

   • $T_b = 70{,}5$
   • $i = 20$
   • $n = 40$
   • $F_{\text{kum}} = 4$
   • $f_{20} = 10$
   • $p = 10$

4. Hitung $P_{20}$:

   $$P_{20} = T_b + \left( \frac{\frac{20}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{20}} \right) p$$

   $$P_{20} = 70{,}5 + \left( \frac{8 - 4}{10} \right) 10$$

   $$P_{20} = 70{,}5 + \left( \frac{4}{10} \right) 10$$

   $$P_{20} = 70{,}5 + 4$$

   $$P_{20} = 74{,}5$$

Perkiraan persentil ke-$20$ adalah $74{,}5$. Hasil ini berada dalam kelas $71\text{-}80$, sesuai dengan kelas persentilnya.