Kombinasi Transformasi Fungsi

Transformasi Berurutan pada Grafik yang Sama

Kombinasi transformasi menerapkan dua atau lebih perubahan secara berurutan pada fungsi yang sama. Setiap operasi menerima hasil operasi sebelumnya, sehingga perubahan urutan dapat mengubah fungsi akhir.

Translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi dapat digabungkan. Perubahan urutan penerapannya dapat mengubah hasil akhir.

Jenis Kombinasi Transformasi

Kombinasi transformasi terbagi menjadi dua kelompok, dan setiap kelompok bekerja pada sumbu yang berbeda. Operasi vertikal mengubah keluaran fungsi, sehingga grafik bergeser ke atas, ke bawah, atau berubah tingginya. Operasi horizontal mengubah masukan, sehingga grafik bergeser ke samping, tercermin terhadap sumbu $y$ , atau berubah lebarnya.

Kombinasi Transformasi Vertikal

Transformasi vertikal melibatkan perubahan pada sumbu $y$ . Kombinasi yang umum adalah translasi vertikal diikuti dengan dilatasi vertikal.

Untuk fungsi $f(x)$ yang mengalami translasi vertikal sebesar $b$ kemudian dilatasi vertikal dengan faktor $k$ , rumusnya menjadi:

g(x) = k \cdot (f(x) + b)

Kombinasi Transformasi Horizontal

Transformasi horizontal memengaruhi sumbu $x$ . Contohnya adalah refleksi terhadap sumbu $y$ diikuti dengan translasi horizontal.

Untuk fungsi $f(x)$ yang direfleksikan terhadap sumbu $y$ kemudian ditranslasi horizontal sebesar $a$ , rumusnya adalah:

g(x) = f(-(x - a))

Visualisasi Kombinasi Transformasi

Terapkan dua transformasi secara berurutan pada fungsi kuadrat $f(x) = x^2$ :

Langkah Perhitungan:

Fungsi Awal: $f(x) = x^2$
Langkah 1 - Translasi Vertikal: Geser $2 \text{ unit}$ ke atas

$f_1(x) = f(x) + 2 = x^2 + 2$
Langkah 2 - Dilatasi Vertikal: Kalikan dengan faktor $0{,}5$

$\begin{aligned} g(x) &= 0{,}5 \cdot f_1(x) \\ &= 0{,}5(x^2 + 2) \\ &= 0{,}5x^2 + 1 \end{aligned}$

Contoh Perhitungan untuk $x = 2$ :

Fungsi awal: $f(2) = 2^2 = 4$
Setelah translasi: $f_1(2) = 4 + 2 = 6$
Setelah dilatasi: $g(2) = 0{,}5 \times 6 = 3$

Grafik berikut menunjukkan fungsi awal, hasil translasi, dan hasil dilatasi:

Kombinasi Translasi dan Dilatasi Vertikal

Fungsi kuadrat dengan translasi vertikal

2 \text{ unit}

ke atas kemudian dilatasi vertikal dengan faktor

0{,}5

Urutan Transformasi

Urutan transformasi dapat mengubah hasil akhir. Bandingkan kedua urutan berikut:

Perbandingan Urutan Transformasi:

Urutan A: Dilatasi dulu, lalu translasi

Fungsi awal: $f(x) = x^2$
Dilatasi vertikal dengan faktor $2$ : $h_1(x) = 2 \cdot f(x) = 2x^2$
Translasi vertikal $+1$ : $h_A(x) = h_1(x) + 1 = 2x^2 + 1$

Urutan B: Translasi dulu, lalu dilatasi

Fungsi awal: $f(x) = x^2$
Translasi vertikal $+1$ : $h_2(x) = f(x) + 1 = x^2 + 1$
Dilatasi vertikal dengan faktor $2$ : $h_B(x) = 2 \cdot h_2(x) = 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2$

Contoh Perhitungan untuk $x = 1$ :

Urutan A:

Fungsi awal: $f(1) = 1^2 = 1$
Setelah dilatasi: $h_1(1) = 2 \times 1 = 2$
Setelah translasi: $h_A(1) = 2 + 1 = 3$

Urutan B:

Fungsi awal: $f(1) = 1^2 = 1$
Setelah translasi: $h_2(1) = 1 + 1 = 2$
Setelah dilatasi: $h_B(1) = 2 \times 2 = 4$

Kedua urutan transformasi memberi hasil akhir yang berbeda: $h_A(1) = 3$ sedangkan $h_B(1) = 4$ .

Perbandingan Urutan Transformasi

Membandingkan hasil transformasi dengan urutan yang berbeda.

Transformasi Horizontal Kombinasi

Untuk transformasi horizontal, kita dapat menggabungkan refleksi dan translasi:

Langkah Perhitungan Transformasi Horizontal:

Fungsi Awal: $f(x) = 1{,}5^x$
Langkah 1 - Refleksi terhadap sumbu $y$ : Ganti $x$ dengan $-x$

$f_1(x) = f(-x) = 1{,}5^{-x}$
Langkah 2 - Translasi horizontal: Geser $2 \text{ unit}$ ke kanan

$\begin{aligned} g(x) &= f_1(x-2) \\ &= 1{,}5^{-(x-2)} \\ &= 1{,}5^{-x+2} \end{aligned}$

Contoh Perhitungan untuk $x = 3$ :

Fungsi awal: $f(3) = 1{,}5^3 = 3{,}375$
Setelah refleksi: $f_1(3) = 1{,}5^{-3} = \frac{1}{3{,}375} \approx 0{,}296$
Setelah translasi: $g(3) = 1{,}5^{-(3-2)} = 1{,}5^{-1} = \frac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667$

Grafik berikut mempertahankan kedua langkah perantara:

Kombinasi Refleksi dan Translasi Horizontal

Fungsi eksponensial dengan refleksi terhadap sumbu

y

kemudian translasi horizontal.

Sifat Kombinasi Transformasi

Dua kombinasi transformasi menghasilkan grafik yang sama hanya jika keduanya bekerja pada sumbu yang berbeda, atau jika keduanya berasal dari kelompok yang sama dengan urutan yang sesuai. Tabel berikut merangkum apa yang menentukan hasil akhirnya.

Sifat	Artinya	Contoh
Urutan berpengaruh	Dua transformasi pada sumbu yang sama jarang komutatif, sehingga menukar urutannya biasanya mengubah grafik	Dilatasi vertikal lalu translasi vertikal memberi $k(f(x)+b)$ , sedangkan urutan sebaliknya memberi $k f(x)+b$
Sumbu berbeda bersifat bebas	Transformasi horizontal dan vertikal dapat diterapkan dalam urutan mana pun	Mengubah tinggi grafik lalu menggesernya ke samping menghasilkan grafik yang sama pada kedua urutan
Operasi sejenis bergabung	Translasi pada arah yang sama menjumlahkan perpindahannya, dan dilatasi pada sumbu yang sama mengalikan faktornya	Translasi ke atas sebesar $2$ lalu $3$ menggeser grafik ke atas sebesar $5$
Kontinuitas tetap terjaga	Jika fungsi asli tidak putus dan tidak melompat, hasilnya juga demikian	Fungsi $f(x)$ yang kontinu tetap kontinu setelah kombinasi apa pun

Aturan urutan inilah yang paling sering membuat siswa keliru. Ketika dua operasi bekerja pada sumbu yang sama, kerjakan dari masukan ke arah luar: terapkan operasi yang tertulis paling dekat dengan $x$ lebih dulu, lalu bergerak ke luar.

Latihan

Soal-soal berikut menggabungkan dua transformasi atau lebih, jadi baca urutan yang tertulis sebelum menuliskan rumus apa pun. Kerjakan dari operasi yang paling dekat dengan $x$ menuju ke luar, dan periksa apakah kedua operasi bekerja pada sumbu yang sama. Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

Fungsi $f(x) = x^2$ ditranslasi vertikal $3 \text{ unit}$ ke atas, kemudian dilatasi vertikal dengan faktor $\frac{1}{2}$ . Tentukan rumus fungsi hasil transformasi.
Fungsi $g(x) = 2^x$ direfleksikan terhadap sumbu $y$ , kemudian ditranslasi horizontal $1 \text{ unit}$ ke kanan. Tuliskan rumus fungsi hasil transformasi.
Bandingkan hasil transformasi fungsi $h(x) = x^2$ pada urutan A dan urutan B. Urutan A menerapkan dilatasi vertikal dengan faktor $3$ lebih dulu, lalu translasi vertikal $2 \text{ unit}$ ke atas. Urutan B menerapkan translasi vertikal $2 \text{ unit}$ ke atas lebih dulu, lalu dilatasi vertikal dengan faktor $3$ . Jelaskan mengapa kedua hasilnya berbeda.
Fungsi $f(x) = \sqrt{x}$ mengalami kombinasi transformasi sehingga menjadi $g(x) = 2\sqrt{x + 3} - 1$ . Sebutkan transformasi apa saja yang terjadi dan urutannya.
Tentukan rumus fungsi hasil transformasi jika $f(x) = |x|$ ditranslasi horizontal $2 \text{ unit}$ ke kiri, direfleksikan terhadap sumbu $x$ , kemudian dilatasi vertikal dengan faktor $3$ .

Kunci Jawaban

Pada transformasi gabungan, $x$ ditulis ulang sesuai urutan yang diminta, lalu bagian luarnya dikalikan atau dijumlahkan. Grafik hasilnya diperiksa terhadap grafik asli untuk memastikan urutannya sudah benar.

Transformasi bertahap pada $f(x) = x^2$ :

Langkah 1: Translasi vertikal $+3$

$f_1(x) = x^2 + 3$

Langkah 2: Dilatasi vertikal dengan faktor $\frac{1}{2}$

$g(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 3) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$

Jadi rumus fungsi hasil transformasi adalah $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$ .

Transformasi Bertahap: Translasi Kemudian Dilatasi
Transformasi bertahap fungsi kuadrat.
Transformasi bertahap pada $g(x) = 2^x$ :

Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu $y$

$g_1(x) = 2^{-x}$

Langkah 2: Translasi horizontal $1 \text{ unit}$ ke kanan

$h(x) = 2^{-(x-1)} = 2^{-x+1} = 2 \cdot 2^{-x}$

Jadi rumus fungsi hasil transformasi adalah $h(x) = 2^{1-x}$ .

Refleksi dan Translasi Horizontal Fungsi Eksponensial
Transformasi fungsi eksponensial.
Perbandingan dua urutan transformasi:

Urutan A: Dilatasi dulu, lalu translasi
$h_1(x) = 3x^2$
Urutan B: Translasi dulu, lalu dilatasi
$h_2(x) = x^2 + 2$
Hasil berbeda: $h_A(x) = 3x^2 + 2$ dan $h_B(x) = 3x^2 + 6$ .

Pengaruh Urutan Transformasi pada Hasil Akhir
Perbandingan urutan transformasi yang berbeda.
Analisis transformasi $g(x) = 2\sqrt{x + 3} - 1$ dari $f(x) = \sqrt{x}$ :

Transformasi yang terjadi secara berurutan:
- Translasi horizontal $3 \text{ unit}$ ke kiri: $f(x + 3) = \sqrt{x + 3}$
- Dilatasi vertikal dengan faktor $2$ : $2\sqrt{x + 3}$
- Translasi vertikal $1 \text{ unit}$ ke bawah: $2\sqrt{x + 3} - 1$
Transformasi bertahap pada $f(x) = |x|$ :
$f_1(x) = |x + 2|$
Jadi rumus fungsi hasil transformasi adalah $g(x) = -3|x + 2|$ .

Kombinasi Translasi, Refleksi, dan Dilatasi Fungsi Mutlak
Transformasi bertahap fungsi nilai mutlak.