Kombinasi Transformasi Fungsi

Transformasi Berurutan pada Grafik yang Sama

Kombinasi transformasi menerapkan dua atau lebih perubahan secara berurutan pada fungsi yang sama. Setiap operasi menerima hasil operasi sebelumnya, sehingga perubahan urutan dapat mengubah fungsi akhir.

Translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi dapat digabungkan. Perubahan urutan penerapannya dapat mengubah hasil akhir.

Jenis Kombinasi Transformasi

Kombinasi transformasi terbagi menjadi dua kelompok, dan setiap kelompok bekerja pada sumbu yang berbeda. Operasi vertikal mengubah keluaran fungsi, sehingga grafik bergeser ke atas, ke bawah, atau berubah tingginya. Operasi horizontal mengubah masukan, sehingga grafik bergeser ke samping, tercermin terhadap sumbu $y$, atau berubah lebarnya.

Kombinasi Transformasi Vertikal

Transformasi vertikal melibatkan perubahan pada sumbu $y$. Kombinasi yang umum adalah translasi vertikal diikuti dengan dilatasi vertikal.

Untuk fungsi $f(x)$ yang mengalami translasi vertikal sebesar $b$ kemudian dilatasi vertikal dengan faktor $k$, rumusnya menjadi:

Kombinasi Transformasi Horizontal

Transformasi horizontal memengaruhi sumbu $x$. Contohnya adalah refleksi terhadap sumbu $y$ diikuti dengan translasi horizontal.

Untuk fungsi $f(x)$ yang direfleksikan terhadap sumbu $y$ kemudian ditranslasi horizontal sebesar $a$, rumusnya adalah:

Visualisasi Kombinasi Transformasi

Terapkan dua transformasi secara berurutan pada fungsi kuadrat $f(x) = x^2$:

Langkah Perhitungan:

1. Fungsi Awal: $f(x) = x^2$

2. Langkah 1 - Translasi Vertikal: Geser $2 \text{ unit}$ ke atas

   $$f_1(x) = f(x) + 2 = x^2 + 2$$

Contoh Perhitungan untuk $x = 2$:

• Fungsi awal: $f(2) = 2^2 = 4$
• Setelah translasi: $f_1(2) = 4 + 2 = 6$

Grafik berikut menunjukkan fungsi awal, hasil translasi, dan hasil dilatasi:

Urutan Transformasi

Urutan transformasi dapat mengubah hasil akhir. Bandingkan kedua urutan berikut:

Perbandingan Urutan Transformasi:

Urutan A: Dilatasi dulu, lalu translasi

1. Fungsi awal: $f(x) = x^2$
2. Dilatasi vertikal dengan faktor $2$: $h_1(x) = 2 \cdot f(x) = 2x^2$

Urutan B: Translasi dulu, lalu dilatasi

1. Fungsi awal: $f(x) = x^2$
2. Translasi vertikal $+1$: $h_2(x) = f(x) + 1 = x^2 + 1$

Contoh Perhitungan untuk $x = 1$:

Urutan A:

• Fungsi awal: $f(1) = 1^2 = 1$
• Setelah dilatasi: $h_1(1) = 2 \times 1 = 2$

Urutan B:

• Fungsi awal: $f(1) = 1^2 = 1$
• Setelah translasi: $h_2(1) = 1 + 1 = 2$

Kedua urutan transformasi memberi hasil akhir yang berbeda: $h_A(1) = 3$ sedangkan $h_B(1) = 4$.

Transformasi Horizontal Kombinasi

Untuk transformasi horizontal, kita dapat menggabungkan refleksi dan translasi:

Langkah Perhitungan Transformasi Horizontal:

1. Fungsi Awal: $f(x) = 1{,}5^x$

2. Langkah 1 - Refleksi terhadap sumbu $y$: Ganti $x$ dengan

Contoh Perhitungan untuk $x = 3$:

• Fungsi awal: $f(3) = 1{,}5^3 = 3{,}375$
• Setelah refleksi: $f_1(3) = 1{,}5^{-3} = \frac{1}{3{,}375} \approx 0{,}296$

Grafik berikut mempertahankan kedua langkah perantara:

Sifat Kombinasi Transformasi

Dua kombinasi transformasi menghasilkan grafik yang sama hanya jika keduanya bekerja pada sumbu yang berbeda, atau jika keduanya berasal dari kelompok yang sama dengan urutan yang sesuai. Tabel berikut merangkum apa yang menentukan hasil akhirnya.

Aturan urutan inilah yang paling sering membuat siswa keliru. Ketika dua operasi bekerja pada sumbu yang sama, kerjakan dari masukan ke arah luar: terapkan operasi yang tertulis paling dekat dengan $x$ lebih dulu, lalu bergerak ke luar.

Latihan

Soal-soal berikut menggabungkan dua transformasi atau lebih, jadi baca urutan yang tertulis sebelum menuliskan rumus apa pun. Kerjakan dari operasi yang paling dekat dengan $x$ menuju ke luar, dan periksa apakah kedua operasi bekerja pada sumbu yang sama. Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

1. Fungsi $f(x) = x^2$ ditranslasi vertikal $3 \text{ unit}$ ke atas, kemudian dilatasi vertikal dengan faktor $\frac{1}{2}$. Tentukan rumus fungsi hasil transformasi.

Kunci Jawaban

Pada transformasi gabungan, $x$ ditulis ulang sesuai urutan yang diminta, lalu bagian luarnya dikalikan atau dijumlahkan. Grafik hasilnya diperiksa terhadap grafik asli untuk memastikan urutannya sudah benar.

1. Transformasi bertahap pada $f(x) = x^2$:

   Langkah 1: Translasi vertikal $+3$

   $$f_1(x) = x^2 + 3$$