Matriks Pencerminan

Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Horizontal

Ingat kembali bahwa pencerminan titik $(x,y)$ terhadap sumbu $x$ menghasilkan bayangan $(x,-y)$ . Koordinat $x$ tetap, sedangkan koordinat $y$ berubah tanda.

Kita mulai dengan matriks yang elemennya belum diketahui:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Untuk pencerminan terhadap sumbu $x$ , matriks ini harus memenuhi:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}

Dengan menyamakan koefisien, kita peroleh:

$rx + sy = 1x + 0y \implies r=1, s=0$
$tx + uy = 0x - 1y \implies t=0, u=-1$

Jadi, matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ adalah:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Vertikal

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap sumbu $y$ menghasilkan $(-x,y)$ .

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}

Diperoleh $r=-1, s=0, t=0, u=1$ .

Matriksnya adalah:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks Pencerminan terhadap Garis Diagonal Utama

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap garis $y=x$ menghasilkan $(y,x)$ .

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}

Diperoleh $r=0, s=1, t=1, u=0$ .

Matriksnya adalah:

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Matriks Pencerminan terhadap Garis Diagonal Negatif

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap garis $y=-x$ menghasilkan $(-y,-x)$ .

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}

Diperoleh $r=0, s=-1, t=-1, u=0$ .

Matriksnya adalah:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Berbagai Matriks Pencerminan Dasar

Setiap matriks di bawah bekerja pada vektor kolom yang memuat koordinat sebuah titik. Bacalah satu baris sebagai aturan untuk satu koordinat hasil, sehingga baris pertama menghasilkan $x$ baru dan baris kedua menghasilkan $y$ baru. Matriks untuk kedua sumbu koordinat dan untuk titik pusat menyusul.

Matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Matriks pencerminan terhadap sumbu $y$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x$ :

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x$ :

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Mencari Bayangan Titik dengan Matriks

Carilah bayangan $(3,-4)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $x$ .

Penyelesaian:

Menggunakan matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1)(3) + (0)(-4) \\ (0)(3) + (-1)(-4) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, bayangannya adalah $(3,4)$ .

Mencari Bayangan Segitiga dengan Matriks

Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan $A(3,1)$ , $B(-2,3)$ , dan $C(2,-1)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $y$ !

Penyelesaian:

Matriks pencerminan terhadap sumbu $y$ adalah:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks titik-titik sudut segitiga $ABC$ :

\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Kolom-kolomnya mewakili $A$ , $B$ , dan $C$ dari kiri ke kanan. Kalikan setiap kolom dengan matriks pencerminan untuk mendapatkan kedua koordinat bayangannya.

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x'_A & x'_B & x'_C \\ y'_A & y'_B & y'_C \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, bayangannya adalah segitiga $A'B'C'$ dengan $A'(-3,1)$ , $B'(2,3)$ , dan $C'(-2,-1)$ .

Pencerminan

\triangle ABC

terhadap sumbu

y

dengan Matriks

Segitiga

ABC

dicerminkan menjadi

A'B'C'

terhadap sumbu

y

Latihan

Setiap soal berikut meminta bayangan sebuah titik atau bangun setelah dicerminkan. Tuliskan dulu matriks pencerminan yang sesuai, lalu kalikan dengan vektor koordinat titik yang ditinjau.

Carilah bayangan titik $(3,5)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $x$ menggunakan matriks pencerminan berikut:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan $A(3,1)$ , $B(-2,3)$ , dan $C(2,-1)$ yang dicerminkan terhadap garis $y=-x$ !

Pembahasan

Kalikan vektor posisi titik $(3,5)$ dengan matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ :

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$

Bayangan: $(3,-5)$ .
Matriks pencerminan terhadap $y=-x$ adalah:

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Matriks titik $ABC$ :
$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
Hitung setiap entri dengan mengalikan baris dan kolom:
$\begin{aligned} &m_{11}=(0)(3)+(-1)(1) \\ &m_{12}=(0)(-2)+(-1)(3) \\ &m_{13}=(0)(2)+(-1)(-1) \\ &m_{21}=(-1)(3)+(0)(1) \\ &m_{22}=(-1)(-2)+(0)(3) \\ &m_{23}=(-1)(2)+(0)(-1) \end{aligned}$
Bayangan: $A'(-1,-3)$ , $B'(-3,2)$ , $C'(1,-2)$ .

Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Horizontal

Ingat kembali bahwa pencerminan titik $(x,y)$ terhadap sumbu $x$ menghasilkan bayangan $(x,-y)$ . Koordinat $x$ tetap, sedangkan koordinat $y$ berubah tanda.

Kita mulai dengan matriks yang elemennya belum diketahui:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Untuk pencerminan terhadap sumbu $x$ , matriks ini harus memenuhi:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}

Dengan menyamakan koefisien, kita peroleh:

$rx + sy = 1x + 0y \implies r=1, s=0$
$tx + uy = 0x - 1y \implies t=0, u=-1$

Jadi, matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ adalah:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Vertikal

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap sumbu $y$ menghasilkan $(-x,y)$ .

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}

Diperoleh $r=-1, s=0, t=0, u=1$ .

Matriksnya adalah:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks Pencerminan terhadap Garis Diagonal Utama

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap garis $y=x$ menghasilkan $(y,x)$ .

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}

Diperoleh $r=0, s=1, t=1, u=0$ .

Matriksnya adalah:

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Matriks Pencerminan terhadap Garis Diagonal Negatif

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap garis $y=-x$ menghasilkan $(-y,-x)$ .

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}

Diperoleh $r=0, s=-1, t=-1, u=0$ .

Matriksnya adalah:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Berbagai Matriks Pencerminan Dasar

Matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Matriks pencerminan terhadap sumbu $y$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x$ :

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x$ :

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Mencari Bayangan Titik dengan Matriks

Carilah bayangan $(3,-4)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $x$ .

Penyelesaian:

Menggunakan matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1)(3) + (0)(-4) \\ (0)(3) + (-1)(-4) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, bayangannya adalah $(3,4)$ .

Mencari Bayangan Segitiga dengan Matriks

Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan $A(3,1)$ , $B(-2,3)$ , dan $C(2,-1)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $y$ !

Penyelesaian:

Matriks pencerminan terhadap sumbu $y$ adalah:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks titik-titik sudut segitiga $ABC$ :

\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Kolom-kolomnya mewakili $A$ , $B$ , dan $C$ dari kiri ke kanan. Kalikan setiap kolom dengan matriks pencerminan untuk mendapatkan kedua koordinat bayangannya.

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x'_A & x'_B & x'_C \\ y'_A & y'_B & y'_C \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, bayangannya adalah segitiga $A'B'C'$ dengan $A'(-3,1)$ , $B'(2,3)$ , dan $C'(-2,-1)$ .

Pencerminan

\triangle ABC

terhadap sumbu

y

dengan Matriks

Segitiga

ABC

dicerminkan menjadi

A'B'C'

terhadap sumbu

y

Latihan

Setiap soal berikut meminta bayangan sebuah titik atau bangun setelah dicerminkan. Tuliskan dulu matriks pencerminan yang sesuai, lalu kalikan dengan vektor koordinat titik yang ditinjau.

Carilah bayangan titik $(3,5)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $x$ menggunakan matriks pencerminan berikut:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan $A(3,1)$ , $B(-2,3)$ , dan $C(2,-1)$ yang dicerminkan terhadap garis $y=-x$ !

Pembahasan

Kalikan vektor posisi titik $(3,5)$ dengan matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ :

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$

Bayangan: $(3,-5)$ .
Matriks pencerminan terhadap $y=-x$ adalah:

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Matriks titik $ABC$ :
$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
Hitung setiap entri dengan mengalikan baris dan kolom:
$\begin{aligned} &m_{11}=(0)(3)+(-1)(1) \\ &m_{12}=(0)(-2)+(-1)(3) \\ &m_{13}=(0)(2)+(-1)(-1) \\ &m_{21}=(-1)(3)+(0)(1) \\ &m_{22}=(-1)(-2)+(0)(3) \\ &m_{23}=(-1)(2)+(0)(-1) \end{aligned}$
Bayangan: $A'(-1,-3)$ , $B'(-3,2)$ , $C'(1,-2)$ .