Dalam geometri, transformasi adalah operasi yang memindahkan atau mengubah bentuk objek. Ketika beberapa transformasi diterapkan secara berurutan pada sebuah objek, ini disebut sebagai komposisi transformasi.
Kita dapat menggunakan matriks untuk merepresentasikan banyak transformasi geometri dan juga untuk mencari hasil dari komposisi transformasi tersebut.
Kita akan fokus pada transformasi-transformasi yang dapat direpresentasikan dengan matriks berordo 2×2. Sebagai contoh, pencerminan terhadap sumbu x dapat direpresentasikan oleh matriks . Jika titik dicerminkan terhadap sumbu , petanya dapat ditemukan dengan mengalikan matriks ini dengan vektor posisi titik: .
(100−1)
(x,y)
x
(100−1)(xy)
Berikut adalah beberapa transformasi dasar beserta matriksnya yang sering digunakan dalam komposisi transformasi:
Pencerminan terhadap sumbu x: (100−1)
Pencerminan terhadap sumbu y: (−1001)
Pencerminan terhadap garis y=x: (0110)
Pencerminan terhadap garis y=−x: (0−1−10)
Pencerminan terhadap titik pusat O(0,0) (setara dengan rotasi 180∘): (−100−1)
Rotasi terhadap titik asal (0,0) sebesar sudut θ: (cosθsinθ−sinθcosθ)
Dilatasi terhadap titik asal (0,0) dengan faktor skala k: (k00k)
Komposisi transformasi berarti melakukan beberapa transformasi secara berurutan. Jika transformasi T1 diikuti oleh transformasi T2, kita menotasikannya sebagai T2∘T1. Artinya, T1 diterapkan terlebih dahulu, kemudian hasilnya ditransformasikan oleh T2.
Misalkan matriks yang bersesuaian dengan T1 adalah M1, dan matriks yang bersesuaian dengan T2 adalah M2. Untuk mencari peta dari titik P(x,y) oleh komposisi T2∘T1, ada dua cara yang ekuivalen:
Menerapkan Transformasi secara Berurutan pada Titik:
Hitung peta P′(x′,y′) dari P(x,y) oleh T1: (x′y′)=M1(xy).
Kemudian, hitung peta P′′(x′′,y′′) dari P′(x′,y′) oleh : .
Jika kita substitusikan langkah (a) ke (b), kita dapatkan: (x′′y′′)=M2(M1(xy)).
Mencari Matriks Komposisi Terlebih Dahulu:
Tentukan matriks M yang merepresentasikan komposisi transformasi T2∘T1. Matriks ini adalah hasil perkalian M2M1.
Kedua cara ini menghasilkan peta akhir yang sama karena sifat asosiatif perkalian matriks, yaitu M2(M1P)=(M2M1)P, di mana P adalah vektor kolom (xy).
Contoh Ilustratif:
Misalkan T1 adalah pencerminan terhadap sumbu y, dan T2 adalah rotasi terhadap titik asal O sebesar 21π radian (90∘). Kita ingin mencari peta titik P(x,y) oleh T2∘T1.
Matriks untuk T1 (pencerminan sumbu y) adalah M1=(−1001).
Matriks untuk T2 (rotasi 90∘) adalah M2=(cos90∘sin90∘−sin90∘cos90∘)=(01−10).
Kedua cara memberikan hasil yang sama. Menggunakan matriks komposisi (M2M1) seringkali lebih efisien jika kita perlu mentransformasikan banyak titik dengan komposisi yang sama.
Misalkan, kalian ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik P(2,5), yakni refleksi terhadap sumbu x, rotasi 90∘ terhadap titik asal, dan setengah putar (180∘ rotasi terhadap titik asal). Tentukan petanya!
Misalkan, kita ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik P(2,5), yakni refleksi terhadap sumbu y, rotasi 180∘ terhadap titik asal, dan pencerminan terhadap garis y=x. Tentukan petanya!
