Matriks Transformasi Komposisi

Menggabungkan Transformasi melalui Perkalian Matriks

Dalam geometri, transformasi memetakan setiap titik suatu bangun ke titik bayangannya. Bergantung pada jenis transformasinya, posisi, orientasi, ukuran, atau bentuk bangun dapat berubah. Penerapan beberapa transformasi secara berurutan membentuk komposisi transformasi.

Kita dapat menggunakan matriks untuk merepresentasikan banyak transformasi geometri dan juga untuk mencari hasil dari komposisi transformasi tersebut.

Kita akan membahas transformasi yang dinyatakan dengan matriks berordo $2 \times 2$ . Misalnya, pencerminan terhadap sumbu $x$ menggunakan matriks berikut:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Untuk mencari bayangan titik $(x,y)$ pada pencerminan ini, kalikan matriks tersebut dengan vektor posisi titik:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Berikut adalah beberapa transformasi dasar beserta matriksnya yang sering digunakan dalam komposisi transformasi:

Pencerminan terhadap sumbu $x$ :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Pencerminan terhadap sumbu $y$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Pencerminan terhadap garis $y=x$ :

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Pencerminan terhadap garis $y=-x$ :

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Pencerminan terhadap titik pusat $O(0,0)$ (setara dengan rotasi $180^\circ$ ):

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Rotasi terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ :

$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
Dilatasi terhadap titik asal $(0,0)$ dengan faktor skala $k$ :

$\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$

Menerapkan Komposisi Transformasi dengan Matriks

Komposisi transformasi berarti melakukan beberapa transformasi secara berurutan. Jika transformasi $T_1$ diikuti oleh transformasi $T_2$ , kita menotasikannya sebagai $T_2 \circ T_1$ . Artinya, $T_1$ diterapkan terlebih dahulu, kemudian hasilnya ditransformasikan oleh $T_2$ .

Misalkan matriks yang bersesuaian dengan $T_1$ adalah $M_1$ , dan matriks yang bersesuaian dengan $T_2$ adalah $M_2$ . Untuk mencari bayangan titik $P(x,y)$ oleh komposisi $T_2 \circ T_1$ , ada dua cara yang ekuivalen:

Menerapkan Transformasi secara Berurutan pada Titik:
- Hitung bayangan $P'(x',y')$ dari $P(x,y)$ oleh $T_1$ :
  
  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
- Kemudian, hitung bayangan $P''(x'',y'')$ dari $P'(x',y')$ oleh $T_2$ :
  
  $\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$
Dengan memasukkan bayangan pertama ke perhitungan kedua, kita memperoleh:

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \left( M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right)$
Mencari Matriks Komposisi:
- Tentukan matriks $M$ yang merepresentasikan komposisi transformasi $T_2 \circ T_1$ . Matriks ini adalah hasil perkalian $M_2 M_1$ .
  
  Perhatikan urutannya: matriks transformasi kedua ( $M_2$ ) berada di sebelah kiri matriks transformasi pertama ( $M_1$ ).
- Hitung bayangan $P''(x'',y'')$ dari $P(x,y)$ menggunakan matriks komposisi $M$ :
  
  $\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} \\ & = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ & = (M_2 M_1) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$

Kedua cara menghasilkan bayangan akhir yang sama karena perkalian matriks bersifat asosiatif: $M_2 (M_1 P) = (M_2 M_1) P$ . Pada persamaan ini, $P$ adalah vektor kolom berikut:

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Contoh Ilustratif:

Misalkan $T_1$ adalah pencerminan terhadap sumbu $y$ , dan $T_2$ adalah rotasi terhadap titik asal $O$ sebesar $\frac{1}{2}\pi$ radian ( $90^\circ$ ). Kita ingin mencari bayangan titik $P(x,y)$ oleh $T_2 \circ T_1$ .

Matriks untuk $T_1$ (pencerminan sumbu $y$ ) adalah:

M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks untuk $T_2$ (rotasi $90^\circ$ ) adalah:

\begin{aligned} M_2 &= \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Cara 1: Transformasi Berurutan pada Titik

Bayangan $P(x,y)$ oleh $T_1$ :

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$

Jadi $P'(-x,y)$ .
Bayangan $P'(-x,y)$ oleh $T_2$ :

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} &= M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(-x)+(-1)(y) \\ (1)(-x)+(0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}$
Bayangan akhirnya adalah $P''(-y,-x)$ .

Cara 2: Matriks Komposisi Terlebih Dahulu

Matriks komposisi $M = M_2 M_1$ :

Tuliskan $M=(m_{ij})$ . Indeksnya menunjukkan baris dan kolom setiap elemen. Misalnya, untuk mencari $m_{12}$ , pasangkan elemen baris pertama matriks kiri dengan elemen kolom kedua matriks kanan, lalu jumlahkan hasil kalinya.
$\begin{aligned} &M=(m_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Bayangan $P(x,y)$ oleh $M$ :

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(x)+(-1)(y) \\ (-1)(x)+(0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}$
Bayangan akhirnya adalah $P''(-y,-x)$ .

Kedua cara memberikan hasil yang sama. Jika banyak titik memakai komposisi yang sama, hitung matriks komposisi $M_2 M_1$ sekali lalu terapkan matriks tersebut ke setiap titik.

Aturan Matriks Komposisi

Misalkan $M_1$ dan $M_2$ berturut-turut adalah matriks untuk transformasi $T_1$ dan $T_2$ :

M_1 = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}

Pada komposisi $T_2 \circ T_1$ , kita melakukan $T_1$ terlebih dahulu, lalu $T_2$ . Matriks komposisinya adalah:

M_2 M_1 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}

Urutan perkalian matriks menentukan urutan transformasi. Matriks untuk transformasi yang dilakukan lebih dulu ( $M_1$ ) ditulis di sebelah kanan.

Menggabungkan Pencerminan dan Rotasi dengan Matriks

Menggabungkan dua transformasi berarti mengalikan matriksnya, dan urutan hasil kali itu menentukan hasil akhir. Matriks paling kanan dikerjakan lebih dulu, sehingga menukar urutan dua matriks biasanya menghasilkan bayangan yang berbeda.

Komposisi Dua Pencerminan

Tentukan bayangan titik $(2,5)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $x$ dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu $y$ .

Penyelesaian:

Misalkan $T_1$ adalah pencerminan terhadap sumbu $x$ , dan $T_2$ adalah pencerminan terhadap sumbu $y$ .

Matriks $T_1$ ( $M_1$ ) adalah:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Matriks $T_2$ ( $M_2$ ) adalah:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Komposisi transformasi $T_2 \circ T_1$ memiliki matriks $M = M_2 M_1$ .

\begin{aligned} &M=(m_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangan titik $(2,5)$ adalah:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-1)(2)+(0)(5) \\ (0)(2)+(-1)(5) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, bayangan titik $(2,5)$ adalah $(-2,-5)$ .

Komposisi Refleksi dan Rotasi

Tentukan bayangan titik $(-2,3)$ yang ditransformasikan oleh komposisi dari refleksi sumbu $y$ yang dilanjutkan dengan rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Penyelesaian:

Misalkan $T_1$ adalah refleksi sumbu $y$ , dan $T_2$ adalah rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Matriks $T_1$ ( $M_1$ ) adalah:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks $T_2$ ( $M_2$ ) adalah:

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Komposisi transformasi $T_2 \circ T_1$ memiliki matriks $M = M_2 M_1$ .

\begin{aligned} &M=(m_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangan titik $(-2,3)$ adalah:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1)(-2)+(0)(3) \\ (0)(-2)+(-1)(3) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, bayangan titik $(-2,3)$ adalah $(-2,-3)$ .

Komposisi Tiga Transformasi

Lakukan tiga transformasi pada titik $P(2,5)$ , yaitu refleksi terhadap sumbu $x$ , rotasi $90^\circ$ terhadap titik asal, lalu rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal. Tentukan bayangannya.

Penyelesaian:

Misalkan:

$T_1$ : Refleksi terhadap sumbu $x$ .

Matriksnya adalah:

$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$T_2$ : Rotasi $90^\circ$ terhadap titik asal.

Matriksnya adalah:

$\begin{aligned} M_2 &= \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$
$T_3$ : Setengah putar ( $180^\circ$ rotasi terhadap titik asal).

Matriksnya adalah:

$\begin{aligned} M_3 &= \begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Komposisi transformasi adalah $T_3 \circ T_2 \circ T_1$ . Matriksnya adalah $M = M_3 M_2 M_1$ .

\begin{aligned} &M_2 M_1=(n_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangan $P(2,5)$ adalah:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (-1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, bayangan titik $P(2,5)$ adalah $P'(-5,-2)$ .

Latihan

Lakukan tiga transformasi pada titik $P(2,5)$ , yaitu refleksi terhadap sumbu $y$ , rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal, lalu pencerminan terhadap garis $y=x$ . Kerjakan berurutan dari transformasi pertama, dan tuliskan hasil antara setiap langkah supaya kesalahan urutan mudah ditemukan. Tentukan bayangan akhirnya.

Pembahasan

Misalkan:

$T_1$ : Refleksi terhadap sumbu $y$ .

Matriksnya adalah:

$M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$T_2$ : Rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Matriksnya adalah:

$M_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$T_3$ : Pencerminan terhadap garis $y=x$ .

Matriksnya adalah:

$M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Komposisi transformasi adalah $T_3 \circ T_2 \circ T_1$ . Matriksnya adalah $M = M_3 M_2 M_1$ .

Langkah 1: Hitung $M_2 M_1$ .

\begin{aligned} &M_2 M_1=(n_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Langkah 2: Hitung $M = M_3 (M_2 M_1)$ .

\begin{aligned} &M=(m_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bayangan $P(2,5)$ adalah:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, bayangan titik $P(2,5)$ adalah $P'(-5,2)$ .