Pencerminan terhadap Garis Diagonal Negatif

Menukar Koordinat Titik dan Membalik Tandanya

Pencerminan terhadap garis $y = -x$ memindahkan setiap titik objek ke posisi bayangannya. Garis $y = -x$ menjadi garis cermin.

Garis yang menghubungkan titik asli ke bayangannya akan tegak lurus terhadap garis $y = -x$, dan jarak dari titik asli ke garis cermin sama dengan jarak dari bayangannya ke garis cermin.

Aturan Pencerminan terhadap Garis Diagonal Negatif

Jika sebuah titik $P(x, y)$ dicerminkan terhadap garis $y = -x$, maka koordinat bayangannya, $P'(x', y')$, ditentukan oleh aturan:

Jadi, bayangan titik $P(x, y)$ adalah $P'(-y, -x)$. Koordinat $x$ dan $y$ bertukar tempat, lalu tanda keduanya berubah.

Mencerminkan Titik

Misalkan kita memiliki titik $D(2, 1)$. Jika titik $D$ dicerminkan terhadap garis $y = -x$, maka bayangannya, $D'$, adalah:

Jadi, bayangan titik $D$ adalah $D'(-1, -2)$.

Pasangan titik berikut memperlihatkan kedua langkah pencerminan terhadap $y = -x$:

Mencerminkan Segitiga

Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(-2,4)$, $B(3,1)$, dan $C(-3,-1)$ yang dicerminkan terhadap garis $y=-x$.

Untuk mencerminkan segitiga, kita cerminkan setiap titik sudutnya:

1. Titik $A(-2, 4)$: Bayangannya $A'(-4, 2)$.
2. Titik $B(3, 1)$: Bayangannya $B'(-1, -3)$.
3. Titik $C(-3, -1)$: Bayangannya $C'(1, 3)$.

Segitiga bayangan $A'B'C'$ terbentuk dengan menghubungkan titik-titik $A'(-4, 2)$, $B'(-1, -3)$, dan $C'(1, 3)$.

Mencerminkan Persamaan Garis

Garis $y = -4x - 2$ dicerminkan terhadap $y=-x$. Tentukan persamaan garis bayangannya.

Untuk mencari persamaan bayangan, kita gunakan aturan $x' = -y$ dan $y' = -x$. Ini berarti kita mengganti setiap $x$ dalam persamaan asli dengan $-y$ dan setiap $y$ dengan $-x$.

Persamaan asli:

Substitusikan $x \rightarrow -y$ dan $y \rightarrow -x$:

Selesaikan persamaan terhadap $y$ untuk memperoleh garis bayangan:

Jadi, persamaan bayangan dari garis $y = -4x - 2$ setelah dicerminkan terhadap $y=-x$ adalah $y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$.

Latihan

Ketiga soal mencerminkan terhadap garis $y = -x$. Soal terakhir mencerminkan seluruh garis, sehingga persamaannya yang diubah.

1. Tentukan koordinat bayangan dari titik $S(5, -9)$ jika dicerminkan terhadap garis $y = -x$!
2. Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(1, -2)$, $B(2, 3)$, dan $C(-2, 0)$ yang dicerminkan terhadap garis $y = -x$.
3. Jika sebuah garis memiliki persamaan $4x + 3y - 2 = 0$ dicerminkan terhadap garis $y = -x$, tentukan persamaan garis bayangannya.

Pembahasan

1. Bayangan titik $S(5, -9)$ adalah $S'(9, -5)$.

   Penjelasan:

   $$x' = -(-9) = 9$$

   $$y' = -(5) = -5$$

2. Koordinat bayangan segitiga $A'B'C'$ adalah:

   • $A'(2, -1)$ (dari $A(1, -2)$)
   • $B'(-3, -2)$ (dari $B(2, 3)$)
   • $C'(0, 2)$ (dari $C(-2, 0)$)

3. Persamaan bayangan garis $4x + 3y - 2 = 0$ adalah $4(-y) + 3(-x) - 2 = 0$.

   Penjelasan: Substitusi $x \rightarrow -y$ dan $y \rightarrow -x$ ke dalam persamaan asli:

   $$4(-y) + 3(-x) - 2 = 0$$

   $$-4y - 3x - 2 = 0$$

   $$3x + 4y + 2 = 0$$