Pencerminan terhadap Garis Diagonal Utama

Menukar Koordinat Horizontal dan Vertikal Titik

Pencerminan terhadap garis $y = x$ memindahkan setiap titik objek ke posisi bayangannya. Garis $y = x$ menjadi garis cermin.

Jarak titik asli ke garis cermin sama dengan jarak titik bayangan ke garis cermin, dan garis yang menghubungkan titik asli dengan bayangannya akan tegak lurus terhadap garis $y = x$.

Aturan Pencerminan terhadap Garis Diagonal Utama

Jika sebuah titik $P(x, y)$ dicerminkan terhadap garis $y = x$, maka koordinat bayangannya, $P'(x', y')$, akan mengikuti aturan sederhana:

Jadi, bayangan titik $P(x, y)$ adalah $P'(y, x)$. Perhatikan bahwa koordinat $x$ dan $y$ saling bertukar posisi.

Mencerminkan Titik

Misalkan kita memiliki titik $A(1, 4)$. Jika titik $A$ dicerminkan terhadap garis $y = x$, maka bayangannya, $A'$, dapat ditentukan dengan menukar koordinatnya:

Koordinat $x$ asli adalah $1$, menjadi koordinat $y$ baru.

Koordinat $y$ asli adalah $4$, menjadi koordinat $x$ baru.

Jadi, bayangan titik $A$ adalah $A'(4, 1)$.

Pasangan titik berikut memperlihatkan pertukaran koordinatnya:

Mencerminkan Segitiga

Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(-2,4)$, $B(3,1)$, dan $C(-3,-1)$ yang dicerminkan terhadap garis $y=x$.

Untuk mencerminkan segitiga, kita cerminkan setiap titik sudutnya terhadap garis $y=x$:

1. Titik $A(-2, 4)$: Bayangannya adalah $A'(4, -2)$.
2. Titik $B(3, 1)$: Bayangannya adalah $B'(1, 3)$.
3. Titik $C(-3, -1)$: Bayangannya adalah $C'(-1, -3)$.

Segitiga bayangan $A'B'C'$ terbentuk dengan menghubungkan titik-titik $A'(4, -2)$, $B'(1, 3)$, dan $C'(-1, -3)$.

Mencerminkan Persamaan Garis

Garis $y = 2x + 3$ dicerminkan terhadap $y=x$. Tentukan persamaan garis bayangannya.

Untuk mencari persamaan bayangan, kita gunakan aturan $x' = y$ dan $y' = x$. Ini berarti kita mengganti setiap $x$ dalam persamaan asli dengan $y$ (atau $y'$) dan setiap $y$ dengan $x$ (atau $x'$).

Persamaan asli:

Substitusikan $x \rightarrow y$ dan $y \rightarrow x$ (menggunakan $x$ dan $y$ untuk variabel baru agar lebih sederhana):

Ini adalah persamaan garis bayangan. Biasanya, kita menulis ulang persamaan ini dalam bentuk $y$ sebagai fungsi dari $x$:

Jadi, persamaan bayangan dari garis $y = 2x + 3$ setelah dicerminkan terhadap $y=x$ adalah $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.

Latihan

Ketiga soal mencerminkan terhadap garis $y = x$. Soal terakhir mencerminkan seluruh garis, sehingga persamaannya yang diubah.

1. Tentukan koordinat bayangan dari titik $M(-4, 7)$ jika dicerminkan terhadap garis $y = x$!
2. Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(1, -2)$, $B(2, 3)$, dan $C(-2, 0)$ yang dicerminkan terhadap garis $y = x$.
3. Jika sebuah garis memiliki persamaan $y = -3x + 5$ dicerminkan terhadap garis $y = x$, tentukan persamaan garis bayangannya.

Pembahasan

1. Bayangan titik $M(-4, 7)$ adalah $M'(7, -4)$.

   Penjelasan: Koordinat $x$ dan $y$ ditukar: $x' = 7$, $y' = -4$.

2. Koordinat bayangan segitiga $A'B'C'$ adalah:

   • $A'(-2, 1)$ (dari $A(1, -2)$)
   • $B'(3, 2)$ (dari $B(2, 3)$)
   • $C'(0, -2)$ (dari $C(-2, 0)$)

3. Persamaan bayangan garis $y = -3x + 5$ adalah $x = -3y + 5$.

   Penjelasan: Substitusi $x \rightarrow y$ dan $y \rightarrow x$ ke dalam persamaan asli:

   $$x = -3y + 5$$

   Jika diubah ke bentuk $y = mx+c$:

   $$3y = -x + 5$$

   $$y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$$