Pencerminan terhadap Titik

Hubungan Titik dan Bayangannya dengan Pusat Pencerminan

Pencerminan terhadap titik, yang juga disebut rotasi setengah putar $180^\circ$, memetakan setiap titik ke sisi berlawanan dari pusat pencerminan. Pusat tersebut menjadi titik tengah antara titik asal dan bayangannya.

Misalkan titik pusat pencerminan adalah $P(a,b)$. Jika sebuah titik $Q(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $P$, maka bayangannya $Q'(x',y')$ akan berada pada garis yang melalui $Q$ dan $P$, dengan $P$ sebagai titik tengah segmen $QQ'$.

Aturan Pencerminan terhadap Titik

Jika sebuah titik $Q(x, y)$ dicerminkan terhadap titik $P(a, b)$, maka koordinat bayangannya, $Q'(x', y')$, ditentukan oleh rumus:

Atau bisa juga ditulis:

Ini berarti koordinat $x$ bayangan adalah dua kali koordinat $x$ pusat dikurangi koordinat $x$ asli, dan hal yang sama berlaku untuk koordinat $y$.

Mencerminkan Titik terhadap Titik Lain

Tentukan bayangan titik $(5,4)$ oleh setengah putar $\sigma_{(2,3)}$.

Ini berarti kita mencerminkan titik $Q(5,4)$ terhadap titik pusat $P(2,3)$.

Di sini, $x=5$, $y=4$, $a=2$, dan $b=3$.

Menggunakan rumus:

Jadi, bayangan titik $(5,4)$ adalah $(-1,2)$.

Mencerminkan Garis terhadap Titik

Tentukan bayangan garis $l$ dengan persamaan $2x-y+3=0$ oleh setengah putar $\sigma_{(1,3)}$.

Ambil sembarang titik $(x,y)$ pada garis $l$. Bayangannya, $(x',y')$, setelah dicerminkan terhadap titik $P(1,3)$ adalah:

Substitusikan $x = 2 - x'$ dan $y = 6 - y'$ ke dalam persamaan garis $l$:

Mengganti $x'$ dan $y'$ kembali ke $x$ dan $y$, persamaan garis bayangan $l'$ adalah:

Atau bisa ditulis sebagai $2x - y - 1 = 0$.

Latihan

Soal-soal ini memakai setengah putar terhadap pusat yang diberikan. Soal ketiga mencerminkan garis, sehingga persamaannya yang diubah.

1. Tentukan bayangan titik $(3,-4)$ oleh setengah putar $\sigma_{(-2,3)}$.
2. Titik $K(-5, 1)$ dicerminkan terhadap titik asal $O(0,0)$. Tentukan koordinat bayangannya!
3. Tentukan bayangan garis $l$ dengan persamaan $2x+5y+6=0$ oleh setengah putar $\sigma_{(1,-3)}$.

Pembahasan

1. Pusat $P(-2,3)$, titik $Q(3,-4)$. Maka $a=-2, b=3, x=3, y=-4$.

   $$\begin{aligned} x' &= 2a - x \\ &= 2(-2) - 3 \\ &= -4 - 3 \\ &= -7 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} y' &= 2b - y \\ &= 2(3) - (-4) \\ &= 6 + 4 \\ &= 10 \end{aligned}$$

   Jadi, bayangan titik $Q(3,-4)$ adalah $(-7,10)$.

2. Pusat $O(0,0)$, titik $K(-5,1)$. Maka $a=0, b=0, x=-5, y=1$.

   $$x' = 2(0) - (-5) = 0 + 5 = 5$$

   $$y' = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1$$

   Jadi, bayangan titik $K(-5,1)$ adalah $K'(5,-1)$.

3. Pusat $P(1,-3)$. Garis $2x + 5y + 6 = 0$.

   $$\begin{aligned} x' &= 2(1) - x \\ &= 2 - x \\ &\implies x \\ &= 2 - x' \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} y' &= 2(-3) - y \\ &= -6 - y \\ &\implies y \\ &= -6 - y' \end{aligned}$$

   Substitusi ke persamaan garis:

   $$2(2 - x') + 5(-6 - y') + 6 = 0$$

   $$4 - 2x' - 30 - 5y' + 6 = 0$$

   $$-2x' - 5y' - 20 = 0$$

   Persamaan garis bayangan: $-2x - 5y - 20 = 0$ atau $2x + 5y + 20 = 0$.