Rotasi

Pusat dan Sudut yang Menentukan Rotasi

Rotasi memutar setiap titik suatu bangun dengan sudut yang sama terhadap satu titik pusat tetap. Bangun berpindah dan berputar, sedangkan jarak, sudut, bentuk, ukuran, dan urutan titik sudutnya tetap.

Rotasi ditentukan oleh dua hal:

• Titik Pusat Rotasi (C): Titik tetap yang menjadi pusat perputaran.
• Sudut Rotasi ($\theta$): Sudut berarah yang menyatakan besar dan arah putaran. Sudut positif menghasilkan rotasi berlawanan arah jarum jam, sedangkan sudut negatif menghasilkan rotasi searah jarum jam.

Definisi Rotasi

Diketahui titik pusat $C$ dan sudut berarah $\theta$. Rotasi dengan titik pusat $C$ sebesar $\theta$, dinotasikan dengan $\rho_{C,\theta}$ atau $R(C,\theta)$, didefinisikan sebagai transformasi yang memetakan:

1. Titik $C$ ke dirinya sendiri ($C'=C$).
2. Sembarang titik $P$ ke titik $P'$ sedemikian sehingga $CP = CP'$ (jarak dari pusat ke titik sama dengan jarak dari pusat ke bayangan) dan sudut yang terbentuk oleh sinar $\vec{CP}$ dan $\vec{CP'}$ adalah $\theta$.

Kedua syarat itu bersama-sama menetapkan hasil rotasi secara tunggal, karena setelah pusat dan sudutnya ditentukan, setiap titik punya tepat satu bayangan.

Rotasi terhadap Titik Asal

Jika pusat rotasi berada di titik asal $O(0,0)$, rumus rotasinya menjadi lebih singkat.

Jika titik $P(x,y)$ dirotasikan terhadap titik asal $O(0,0)$ sebesar sudut $\theta$, maka koordinat bayangannya $P'(x',y')$ dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

Merotasikan Sebuah Titik Seperempat Putaran

Sebuah titik $B(0,4)$ dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $90^\circ$. Tentukan titik bayangannya.

Di sini, $x=0$, $y=4$, dan $\theta = 90^\circ$.

Kita tahu $\cos 90^\circ = 0$ dan $\sin 90^\circ = 1$.

Menggunakan rumus:

Jadi, bayangan titik $B(0,4)$ adalah $B'(-4,0)$.

Merotasikan Sebuah Garis Seperempat Putaran

Tentukan bayangan garis $y=2x$ yang dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $90^\circ$.

Ambil sembarang titik $P(x,y)$ pada garis $y=2x$. Bayangannya, $P'(x',y')$, setelah rotasi $90^\circ$ terhadap titik asal adalah:

Dari sini kita peroleh $y = -x'$ dan $x = y'$.

Substitusikan $x = y'$ dan $y = -x'$ ke dalam persamaan garis asli $y=2x$:

Mengganti $x'$ dan $y'$ kembali ke $x$ dan $y$, persamaan garis bayangan adalah $-x = 2y$ atau $y = -\frac{1}{2}x$.

Latihan

Soal-soal memutar sebuah titik, sebuah garis, dan titik lain terhadap titik asal. Garis diputar melalui persamaannya, sehingga seluruh titik pada garis itu bergerak bersama. Periksa arah putarannya, karena sudut berlawanan arah jarum jam dan searah jarum jam menghasilkan bayangan yang berbeda.

1. Sebuah titik $A(3,0)$ dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $90^\circ$. Tentukan titik bayangannya.
2. Tentukan bayangan garis $y=4x$ yang dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $90^\circ$.
3. Titik $P(-2, -5)$ dirotasikan terhadap titik asal $O(0,0)$ sebesar $180^\circ$. Tentukan koordinat bayangannya!

Pembahasan

1. Titik $A(3,0)$, $\theta = 90^\circ$. $x=3, y=0$.

   $$\begin{aligned} x' &= 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ \\ &= 3(0) - 0(1) \\ &= 0 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} y' &= 3 \sin 90^\circ + 0 \cos 90^\circ \\ &= 3(1) + 0(0) \\ &= 3 \end{aligned}$$

   Jadi, bayangan titiknya adalah $A'(0,3)$.

2. Garis $y=4x$, $\theta = 90^\circ$.

   $$x' = -y$$

   $$y' = x$$

   Maka $y = -x'$ dan $x = y'$.

   Substitusi ke persamaan garis: $(-x') = 4(y')$.

   Persamaan garis bayangan: $-x = 4y$ atau $y = -\frac{1}{4}x$.

3. Titik $P(-2,-5)$, $\theta = 180^\circ$. $x=-2, y=-5$.

   $$\cos 180^\circ = -1$$

   $$\sin 180^\circ = 0$$
   $$\begin{aligned} x' &= (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ \\ &= (-2)(-1) - (-5)(0) \\ &= 2 - 0 \\ &= 2 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} y' &= (-2) \sin 180^\circ + (-5) \cos 180^\circ \\ &= (-2)(0) + (-5)(-1) \\ &= 0 + 5 \\ &= 5 \end{aligned}$$

   Jadi, bayangan titik $P$ adalah $P'(2,5)$.