Matriks Rotasi

Menentukan Elemen Matriks dari Rumus Rotasi

Bayangan titik $(x,y)$ yang dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $\theta$ adalah $(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$ .

Kita mulai dengan matriks umum berordo $2 \times 2$ :

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Matriks ini menyatakan rotasi tersebut jika menghasilkan koordinat yang sama untuk setiap $x$ dan $y$ .

Matriks ini harus memenuhi:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}

Hasil perkalian di sisi kiri adalah:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian:

Baris pertama: $rx + sy = x \cos \theta - y \sin \theta$ .

Agar persamaan ini berlaku untuk semua $x$ dan $y$ , maka koefisien $x$ harus sama dan koefisien $y$ harus sama. Jadi, $r = \cos \theta$ dan $s = -\sin \theta$ .
Baris kedua: $tx + uy = x \sin \theta + y \cos \theta$ .

Dengan cara yang sama, $t = \sin \theta$ dan $u = \cos \theta$ .

Matriks Rotasi terhadap Titik Asal

Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $\theta$ radian terhadap titik pusat $O(0,0)$ adalah:

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

Merotasi terhadap Pusat Sembarang

Untuk merotasikan titik $(x,y)$ terhadap titik sebarang $P(a,b)$ sebesar sudut $\theta$ , kita lakukan tiga langkah:

Translasikan titik $(x,y)$ sehingga $P(a,b)$ menjadi titik asal: $(x-a, y-b)$ .
Rotasikan titik hasil translasi terhadap titik asal sebesar $\theta$ menggunakan matriks $R_\theta$ .
Translasikan kembali titik hasil rotasi dengan menambahkan $(a,b)$ .

Rumus Matriks Terpusat

Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $\theta$ radian terhadap titik $(a,b)$ adalah:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{aligned}

Mencari Matriks Rotasi Tertentu

Untuk $\theta = \frac{1}{4}\pi$ radian, atau $45^\circ$ , nilai sinus dan kosinusnya sama dengan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ :

\begin{aligned} R_{\frac{\pi}{4}} &= \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\ \sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}

Matriks ini memutar setiap vektor posisi sebesar $45^\circ$ berlawanan arah jarum jam.

Visualisasi Rotasi Titik

(2,0)

sebesar

45^\circ

terhadap Titik Asal

Titik

A(2,0)

dirotasi

45^\circ

menjadi

A'(\sqrt{2}, \sqrt{2})

\sqrt{2} \approx 1{,}414

Latihan

Soal-soal bergerak dari menyusun matriks rotasi sampai memakainya. Soal terakhir memutar terhadap pusat yang bukan titik asal.

Tentukan matriks yang berkaitan dengan rotasi terhadap titik pusat $O(0,0)$ sebesar $\frac{1}{6}\pi$ radian.
Tentukan bayangan titik $P(4,2)$ jika dirotasikan terhadap titik asal $O(0,0)$ sebesar $60^\circ$ .
Tentukan bayangan titik $Q(3,1)$ jika dirotasikan terhadap titik $C(1,-2)$ sebesar $90^\circ$ .

Pembahasan

Untuk $\theta = \frac{\pi}{6}$ , atau $30^\circ$ , nilai sinus dan kosinusnya adalah:
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Substitusi kedua nilai tersebut menghasilkan:

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
Untuk titik $P(4,2)$ dan $\theta = 60^\circ$ , gunakan $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ dan $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (4)(\frac{1}{2}) - (2)(\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ (4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (2)(\frac{1}{2}) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} + 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Bayangannya adalah $P'(2-\sqrt{3}, 2\sqrt{3}+1)$ .
Titik yang akan diputar adalah $Q(3,1)$ , pusat rotasinya $C(1,-2)$ , dan $\theta = 90^\circ$ . Jadi, $(a,b)=(1,-2)$ .
$\cos 90^\circ = 0$
Bayangannya adalah $Q'(-2,0)$ .