Kegunaan Perbandingan Trigonometri Tangen

Tangen

Dalam segitiga siku-siku, tangen sudut $\theta$ adalah perbandingan antara panjang sisi depan dan sisi samping. Sinus membandingkan sisi depan dengan sisi miring, sedangkan kosinus membandingkan sisi samping dengan sisi miring.

Misalnya, jika kita memiliki segitiga siku-siku dengan sudut $\theta$, maka:

Nilai tangen berubah sesuai dengan besar sudut. Sebagai contoh, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$.

Besaran yang Dapat Dihitung dengan Tangen

Gunakan perbandingan tangen ketika sebuah segitiga siku-siku menghubungkan sudut dengan sisi depan dan sisi sampingnya. Besaran yang dapat dihitung antara lain:

1. Tinggi objek yang sulit diukur secara langsung
2. Jarak antara dua titik yang tidak dapat diakses
3. Panjang bayangan suatu objek
4. Kemiringan suatu permukaan

Mengukur Tinggi melalui Bayangan

Misalkan kita ingin mengukur tinggi pohon atau gedung yang tegak di atas tanah datar. Jika sinar matahari dianggap sejajar, objek, bayangan, dan satu sinar matahari membentuk segitiga siku-siku. Langkahnya:

1. Ukur panjang bayangan mendatar sebagai sisi samping.
2. Ukur atau dapatkan sudut elevasi matahari $\theta$.
3. Gunakan $\tan \theta$ untuk menghitung tinggi tegak sebagai sisi depan.

Metode Menghitung dengan Tangen

Ada dua cara yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan masalah menggunakan tangen. Cara pertama berangkat dari satu sisi dan satu sudut yang diketahui lalu mencari sisi lainnya, cara kedua berangkat dari dua sisi yang diketahui lalu mencari sudutnya.

Perbandingan Segitiga Sebangun

Kita bisa menggunakan prinsip segitiga sebangun untuk menyelesaikan masalah. Jika kita memiliki dua segitiga dengan bentuk yang sama (sebangun), maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.

Misalnya, jika kita memiliki bayangan dari tiga objek berbeda tinggi (anak kecil, remaja, dan orang dewasa), kita bisa membuat persamaan:

Misalkan $h_1$, $h_2$, dan $h_3$ berturut-turut adalah tinggi anak kecil, remaja, dan orang dewasa. Tuliskan $s_1$, $s_2$, dan $s_3$ untuk panjang bayangan masing-masing.

Jika seorang anak dan remaja berdiri di tanah datar yang sama pada waktu yang sama, sinar matahari memberikan sudut lancip yang sama pada kedua segitiga tinggi-bayangan. Misalkan tinggi anak $114 \text{ cm}$, bayangannya $200 \text{ cm}$, dan tinggi remaja $148 \text{ cm}$. Maka:

Segitiga acuan yang diukur memiliki $\tan \theta=114/200=0{,}57$, sehingga sudut elevasi mataharinya $\theta=\arctan(0{,}57)\approx29{,}68^\circ$.

Panjang Bayangan dari Perbandingan Tangen

Perbandingan tangen menghubungkan tinggi dengan panjang bayangan:

Jika sudut elevasi matahari $30^\circ$ dan tinggi remaja $148 \text{ cm}$, perbandingan tangen memberikan panjang bayangannya:

Hasil ini sedikit lebih pendek daripada $259{,}65 \text{ cm}$ karena $30^\circ$ sedikit lebih besar daripada sudut acuan terukur $29{,}68^\circ$. Untuk tinggi yang sama, sudut elevasi yang lebih besar menghasilkan bayangan yang lebih pendek.